A MAGICA DAS MATEMÁTICAS – Consciência.org

Bruxos matemáticos do Egito
Poderosos cérebros matemáticos
Auxílios para o cálculo rápido
Crenças características a respeito de números mágicos
Interessantes proezas matemáticas
Estranhos fatos a respeito de certos números
Curiosidades matemáticas

A MAGICA DAS MATEMÁTICAS

Henry Thomas

A estranha aritmética dos romanos

CURIOSO sistema de notação aritmética tem persistido desde o tempo dos romanos até nossos dias. Esse sistema pouco manejável, embaraçoso, e contudo dotado de extraordinária tenacidade, é ainda o habitualmente usado nos mostradores dos relógios de parede ou de bolso. Imaginai-vos fazendo vossas complicadas somas, multiplicações ou divisões, sem o auxílio dum sistema decimal! Que tal se tivésseis, fazendo o serviço de escrituração, de dividir 30.692 por 1.821, com esses números escritos assim: XXXDCXCII dividido por MDCCCXXI? Não obstante, pode ser feito e com rapidez e facilidade, se conhecerdes o jeito. Os romanos usavam esse sistema e não eram nada maus calculistas.

Os números romanos eram indicados por certas letras. A letra I representava uma unidade; V, 5 unidades; X, 10 unidades; L, 50; C, 100 (a inicial de centum cem); D, 500 e M, 1.000. Para obter números maiores do que podiam ser convenientemente indicados por essas letras, foi adotado o recurso de colocar uma barra ou risco sobre uma letra; esse risco multiplicava seu valor por 1.000. Assim X representava 10.000, e assim por diante. Ora, o meio de conseguir alguém formar números grandes era fazer uma enfiada de números pequenos. Assim 83 é representado por 50 + 30 + 3, ou LXXXIII. A exceção ocorre ao representar um número que é uma unidade menor que qualquer letra. 90 pode ser escrito assim: LXXXX, mas também pode ser escrito: XC, isto é, 100

— 10. De modo que, uma cifra menor posta à esquerda duma maior, significa que a menor deve ser subtraída da maior. Por exemplo: os romanos escreviam nove desta forma IX; 97, XCVII; 982, CMLXXXII. Imaginai-vos a escriturar as contas de vossos negócios diários com esse embaraçoso método!

Para os cálculos rápidos, usavam os romanos uma caixa ou uma ardósia, chamada ábaco, contendo certo número de pequenas pedras (calculi é a palavra latina que significa pedrinhas, da qual se derivam as palavras calcular, cálculo e outras). A caixa estava dividida em quatro colunas, encabeçada pelas letras M, C, X, e I, respectivamente. Ora, colocando o número devido de pedras em cada coluna, podemos representar certa cifra. Como exemplifica o seguinte desenho:

M	C	X	I
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0		0
	0		0
	0		0
	0

temos formado o número .3.625, isto é, 3 mil, 6 centos, 2 dezenas e 5 unidades. Os romanos somavam, subtraíam, multiplicavam e dividiam grandes números por meio duma complicada manipulação das pedrinhas do ábaco. Esse método foi conservado, entre várias nações, até os nos-nos dias. Deveis ter visto vosso lavandeiro chinês, uma ou outra vez, fazendo seus cálculos em um ábaco de fios de barbante e contas de pau, em lugar de pedra. Com êle, pode o homem calcular rápida e corretamente, na sua estranha aritmética, tão rapidamente na verdade que consegue sobrepujar hábeis contadores com máquinas de calcular!

Uma vez que tenhais ficado senhor do mistério do ábaco, é fácil e agradável fazer contas com êle. Mas tentai somente, um dia, resolver o seguinte problema do ábaco de vosso amigo chinês: se uma galinha e meia põe um ovo e meio em um dia e meio…

Bruxos matemáticos do Egito

ÀS margens do caudaloso rio Nilo existiu uma civilização (há uns quatro mil anos), com notável e elevado desenvolvimento, tanto das artes como das ciências. Na multidão de sábios, que ilustraram essa antiga civilização egípcia, muitos podem ser alistados entre os maiores bruxos das matemáticas em todos os tempos. Na verdade, seus resultados parecem fracos ao lado da extraordinária complexidade das modernas matemáticas, mas os progressos que fizeram em sua ciência foram mesmo de espantar.

Dos matemáticos e astrônomos egípcios recebemos a mais remota data assinalada na história. Foi a introdução do calendário egípcio, no ano 4241 antes de Cristo. Considerai a importância desse acontecimento, pois o calendário egípcio permaneceu como o mais exato em uso, até a introdução do calendário do papa Gregório (1582), uns 5800 anos depois.

As pirâmides, durante 4.000 anos uma das maiores maravilhas do mundo, erguem-se ainda hoje, como uma homenagem à magistral habilidade daqueles primitivos engenheiros matemáticos. O erro maior que os mais precisos instrumentos foram capazes de descobrir nas dimensões dos lados da Grande Pirâmide de Gizé é de menos de 1/100 de 1%, cifra dificilmente apreciável mesmo na mais altamente desenvolvida engenharia moderna! Construções dessa espécie, bem como a invenção do nilômetro, aparelho para anunciar o começo e o fim das cheias do rio, o primoroso sistema postal egípcio (lembrai-vos de que isso era aí por 1800 antes de Cristo) e as listas censitárias, tudo só se pôde fazer graças a um alto grau de perícia na ciência do cálculo e da medida.

Mais ou menos naquele período, foi construído o mais antigo relógio-de-sol que se conhece, invenção que, mesmo em nossos dias, é muitas vezes usada para marcar o tempo. Esse relógio-de-sol encontra-se agora no Museu Britânico, ainda exato, ainda prestando serviço, maravilha do engenho humano da antiguidade.

Poderosos cérebros matemáticos

SOMOS muitas vezes propensos a não dar importância ao papel que as matemáticas desempenham na nossa vida cotidiana. A contagem do tempo e o uso das matemáticas nos grandes projetos de engenharia são coisa comum. Mas sabeis quantos matemáticos são empregados pelas companhias de seguro para o trabalho de estatística? Quanto tempo poderiam os negócios, os bancos, o comércio e o governo, o transporte terrestre e a navegação marítima e aérea, persistir em sua atual progressão, sem o auxílio das matemáticas?

Passemos rapidamente em revista alguns dos grandes nomes dos pioneiros dessa ciência vital. Desde cerca do ano 4000 até 600 antes de Cristo, as matemáticas estavam quase que totalmente nas mãos dos egípcios e dos babilônios. Mas em 600, antes de Cristo, os gregos se apoderaram da herança. Os gregos tinham um maravilhoso amor da verdade e notáveis faculdades para a observação exata. Com estas qualidades lançaram os fundamentos da geometria plana, a geometria de círculos, triângulos, etc, e dessa forma deram às ciências da agrimensura e da navegação grande impulso. Quem já não ouviu falar no famoso Euclides, até hoje olhado por muitos como o autor do maior manual de geometria do mundo ?

Do ano 500, depois de Cristo, ao ano 1200, as matemáticas passaram às mãos hábeis dos indús, árabes e persas, que inventaram esse terror do colegial moderno, e que é a álgebra. Foram os árabes e os persas que introduziram os algarismos que usamos hoje e, com isso, a ciência das equações. Ouvistes sem dúvida falar de Omar Khayyam, o autor daquela famosa coleção de quadras filosóficas, Rubaiyat. Mas sabíeis que Omar Khayyam era tão notável matemático como grande poeta, e que escreveu um dos melhores livros medievais sobre álgebra?

De 1200 a 1600, período em que as universidades começaram a pontilhar a face da Europa, as matemáticas receberam tremendo impulso. A trigonometria (outra peste para o estudante, mas de incalculável benefício para navegadores, agrimensores, e cientistas) foi por primeiro discutida, sistematicamente, por João Muller (1464). Como resultado dos cálculos matemáticos, Copérnico (no século XVI) descobriu o grande fato do movimento da terra em torno do sol.

O século XVII viu grandes mestres da matemática. João Napier, escocês, inventou essa pechincha para todos os contadores, os logaritmos. Com o auxílio dos logaritmos, qualquer pessoa pode resolver numa hora, problemas de multiplicação e de divisão, que exigiriam meses de trabalho, se feitos à velha maneira. Kepler e Tycho Brahe foram os famosos astrônomos de seu tempo, que determinaram o movimento de nossos sistemas planetários. Galileu e Pascal rasgaram novos caminhos na aplicação da matemática ao movimento dos corpos. Pascal inventou até uma máquina de somar, aí por 1642. O filósofo francês, Descartes, deixou grande nome na ciência da geometria analítica. O sábio holandês, Huy-ghens, foi eminente, não só como físico, mas também

como matemático. Inventou o pêndulo para regular o relógio e resolveu muitos problemas relativos à suspensão de correntes e arcos, soluções que são empregadas hoje na construção de nossas grandes pontes suspensas.

Mas o maior cientista do século foi Isaac Newton (1642-1727), que inventou o Cálculo (um grande e novo ramo das matemáticas), descobriu a lei da gravitação universal e formulou muitos dos princípios da óptica. Seu famoso livro, Principia, é considerado a Biblia dos cientistas até o dia de hoje.

O século XVIII trouxe à frente Leonardo Euler, o gênio suíço, nascido em 1707. Êle contribuiu para quase todos os ramos das matemáticas, erigindo-os a todos sobre bases sólidas. A vasta extensão de sua obra traçou o curso das matemáticas por uma centena de anos. La-grange foi outro dos mestres da matemática daquele tempo e, com Laplace e Legendre, deu fama imortal à matemática francesa. Gauss, na Alemanha, um dos maiores matemáticos de todos os tempos, não se limitou às matemáticas "puras", mas tratou extensamente do aspecto matemático da eletricidade e da astronomia.

Os grandes matemáticos dos séculos XIX e XX consolidaram e adiantaram o trabalho daqueles pioneiros, até que seus esforços combinados culminaram nos maravilhosos cálculos e descobertas de Alberto Einstein, um dos maiores gênios matemáticos de todos os tempos.

Auxílios para o cálculo rápido

NÃO há, realmente, auxílio tão valioso para um cál culo rápido, como um conhecimento completo e absoluto das tábuas de mutiplicação até 20 X 20. Mas o esquema de nosso sistema aritmético contém tanta coisa de inesperado que alguns artifícios podem mostrar-se instrutivos e úteis.

Sabemos que se um número termina em algarismo par ou em zero, é divisível por dois. Mas há regras que nos dirão se um número é divisível por 3, 4, 5… sem necessidade de levar a cabo a operação? Sim. Um número é divisível por 3, se a soma de seus algarismos é divisível por 3. Tomai como exemplo 762; este número é divisível por 3, porque a soma de seus algarismos (7 -f-6 + 2=15) é divisível por 3. Um número pode ser divisível por quatro se os dois últimos algarismos fôr um número divisível por 4, ou são zeros; por 5, se o número termina em 5 ou 0; por 6, se o número termina em algarismo par e a soma dos algarismos é divisível por três. Convidamo-vos a construirdes vossas próprias regras para a divisão 7, 8 e 9. (Cuidado! Isso requer um pouco de reflexão). Bastante estranho, é que um número seja divisível por 37 ou 111, quando é composto de grupos de três algarismos idênticos. Por exemplo, 999.333, ou 222.111, ou 444.666.

Há um par de artifícios em multiplicação digno de conhecer-se. Para multiplicar por 5, basta acrescentar um zero ao número e dividir por 2; por 25, acrescentar 2 zeros e dividir por 4; por 125, acrescentar 3 zeros e dividir por 8, e assim por diante. Multiplicar por dez é fácil. Todos nós sabemos que para multiplicar por dez basta acrescentar um zero; por 100, acrescentar dois zeros; por 1.000, acrescentar três zeros e assim por diante. Mas o artifício da multiplicação por 11 não é tão fácil assim. Para multiplicar um número de dois algarismos por 11, basta somar os algarismos e colocar o resultado da soma entre eles. Um exemplo tornará a coisa mais clara. Multiplicar 81 por 11: 8 + 1 = 9; depois coloque-se o 9 entre o 8 e o 1 e o resultado desejado é 891. Se acontecer que a soma dos dois algarismos fôr maior do que 10, devemos também acrescentar 1 ao algarismo da esquerda. Multiplicai 76 X 11; 7 + 6 = 13. Depois 76 X 11 — 836 (Obtivemos o 8, acrescentando 1 ao 7).

Há porem alguns artifícios que os calculistas inventaram afim de a si mesmos poupar o trabalho dos longos cálculos. Nós todos usamos de abreviações mentais para fazer cálculos. Vós mesmos tendes provavelmente algum processo favorito próprio, talvez mais complicado que os exemplos apresentados aqui. E’ digno de cultivar-se esse malabarismo mental, não só como prazer, mas também como utilidade.

Crenças características a respeito de números mágicos

CERTA quantidade de misticismo a respeito de alguns números tem persistido desde os tempos mais remotos até os nossos dias. A regularidade e a ordem do sistema numérico parecem significativas de poderes mágicos ou sobrenaturais para a mente dos superticiosos povos primitivos. Assim, o algarismo um, no tempo do filósofo grego Pitágoras, parece ter a divina simplicidade das coisas. Uma vez que é êle o princípio de todos os números, acreditava Pitágoras que era também a origem de todas as coisas. Pensou-se muito tempo que quatro era o número perfeito e consequentemente tinha uma conexão mística com a alma humana. Cinco foi demasiadas vezes usado como uma raiz primitiva, para preservar tudo que fosse misterioso; mas três e sete foram sempre as principais conotações místicas.

Por que três e sete? Nenhuma razão certa é conhecida, embora numerosas sugestões de fantasia tenham sido feitas. Todavia, três e sete contam-se entre os primeiros números primos, isto é, são divisíveis apenas por si e pela unidade. São ambos ímpares, se isso acrescen-

111

222

333

444

555

666

777

888

999

Aqui temos multiplicado 37 por cada termo da progressão aritmética: 3;3-r-3;3-|-3 + 3e assim por diante. Agora multipliquemos 73 pela mesma mística progressão :

73 73 73 73 73 73 73 73 73 3 6 9 12 15 18 21 24 27

219 438 657 876 1095 1314 1533 1752 1971

Haveis de ter observado que os últimos algarismos (à direita) dos produtos acima formam a sequência decrescente: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Estranho, não é?

ta alguma coisa à compreensão. Qualquer que seja a causa dessa superstição, três e sete estiveram sempre estreitamente ligados com o extraordinário, no sistema dos negócios humanos. Há as sete Maravilhas do Mundo, os sete Sábios da Grécia, os sete planetas (os outros dois foram descobertos em tempos mais recentes), os sete intervalos da escala musical, os três Homens Sábios, a Santíssima Trindade, os sete grandes ramos do saber, o trifólio na bússola do marinheiro, os sete mares, o sétimo céu, os sete dias da semana, as três dimensões do espaço, a expressão três vezes maldito, o sétimo filho de um sétimo filho, as sete colinas de Roma, os "sete anos magros e os sete anos gordos" ‘e as Três Irmãs. Através de toda a literatura da humanidade, o três e o sete desempenham papéis de saliência.

Como bem podeis verificar, os números formados por 3 e por 7, isto é, 37 e 73, têm certas propriedades típicas. Reparai na estranha regularidade dos produtos das seguintes multiplicações:

Mesmo hoje, a crença no estranho poder dó três e do sete persiste, especialmente nos jogos de azar, como dados, cartas ou roleta. Prevalece particularmente na astrologia.

Interessantes proezas matemáticas

NESTE capítulo, mencionaremos algumas façanhas maravilhosas, executadas por mágicos matemáticos s’em instrução. Essas pessoas, cujo número não tem sido pequeno, possuem memórias incríveis e um notável discernimento da aparência dos números matemáticos. São capazes de visualizar números, como visualizais as palavras. Eis aqui alguns dos ‘extraordinários fatos referentes a esses mágicos das matemáticas.

Jorge Parker Bidder, nascido em 1806, era, no começo de sua carreira, completamente ignorante dos termos aritméticos. Contudo aqui estão algumas das questões e perguntas que lhe foram propostas entre 1815 e 1819, isto é, quando estava êl’e entre as idades de 9 e 13 anos: Quais os juros de 11.111 libras, durante 11.111 anos a 5% por ano? Sua imediata e correta resposta foi: 16.911 libras e 11 xelins. Segunda questão: Se em 8 minutos um raio de luz virá do sol à terra, e o sol está a 98.000.000 (sic) de milhas de distância; além disso, se a luz requer 6 anos e 4 meses para perfazer a viagem da mais próxima estrela fixa até a Terra, a que distância fica ela da Terra? Como na primeira questão, a resposta brotou rápida e corretamente: 40.633.740.000.000 de milhas. (Calculai vós mesmos). Numa conferência, leram para ele um número de trás para diante: imediatamente repetiu-o de novo e em ordem correta. Uma hora mais tarde, pediam-lhe que o repetisse de novo, o que êle fazia:

2.563.721.987.653.461.598.746.231.905.607.546.128.975.231. Explicai, se o puderdes, o milagre da mente desse rapaz.

Outro calculador de data mais recente foi Tiago Inaudi, nascido em 1867. Esse Inaudi exibiu-se perante o público e durante essas exibições desenvolvia as mais incríveis ginásticas mentais, tais como subtrair um número de 21 algarismos de outro de 21 algarismos, extrair a raiz cúbica de um número de 9 algarismos, extrair a raiz qníntupla de um número de 12 algarismos e coisas semelhantes.

A maioria dos mágicos calculistas, provavelmente, fia-se no poder memorativo dos músculos da fala, tanto quanto nos do ouvido e da vista, como auxiliares de sua ginástica mental. Mas seus métodos de proceder e de visualizar parecem diferir muitíssimo. Inaudi recordava mentalmente o som de um número. Bidder mentalmente dividia o número numa sequência de grupos. Alguns dos ginastas matemáticos não estão bem a par do processo que utilizam para suas soluções maravilhosas. A respeito de um deles, observou um negro, sem nenhuma instrução: "Vote! não sei mesmo como êle faz isso. Só sendo dom do céu."

Estranhos fatos a respeito de certos números

FAÇAMOS alguns interessantes jogos com números.

Talvez possais aprender um ou dois artifícios dignos de serem conhecidos. De qualquer modo, ficareis fascinados pelas espantosas travessuras que os números às vezes praticam.

Comecemos com o número 12345679. Escolhei um número, suponhamos 4. Depois eu escolho um número,

9. Agora qual é o resultado da multiplicação de 12345679 por 4X9? A resposta é 444444444! O segredo está em ter eu escolhido 9. Se tivésseis escolhido 2, 12345679 mutiplicado por 18 (2 X 9) seria 222222222. De modo que a multiplicação deste número de 8 algarismos por um múltiplo de 9 pode ser executada apenas em poucos segundos. Notai que neste número, 12345679, o algarismo 8 foi omitido.

Outro artifício útil e engenhoso, que parece na verdade estranho até que o analiseis, é o seguinte: Escolhei um número de 1 até 100. Agora invertei a ordem dos algarismos no número e subtraí o menor do maior. O resto será 9 ou múltiplo de 9! Por exemplo: 37, invertido, dá 73. 73 — 37 = 36, ou 4 X 9! Isto nunca falha.

Qual supondes que seja o maior número que podereis exprimir com o auxílio apenas de 3 algarismos? Muita gente dirá que é 999, mas isto está muito aquém do certo. O número é 9⁹⁹. Deveis lembrar-vos do que seja quadrar um número. E’ simplesmente multiplicá-lo por si mesmo. Assim 9² = 9 X 9, ou 81. Elevar um número ao cubo é multiplicá-lo por si mesmo três vezes. Assim: 9³ = 9 X 9 X 9, ou 729. De modo que 9⁹significa 9 multiplicado por si mesmo 9 vezes. Isso dá em resultado um número enorme, demasiado comprido para ser impresso aqui. Em seguida, se procedermos à segunda fase de multiplicar 9⁹ por si mesmo 9 vezes, teremos 9", um número inconcebivelmente enorme. Pobre 999! Foi completamente desclassificado!

Outro, na lista das estranhezas, é o procedimento de 142.857. Se o multiplicardes por 1, obtereis 142.857. Multiplicai por 2, e tereis 285714. Multiplicai-o por 3 e tereis 428571. Em cada um destes casos, obtereis exatamente os mesmos algarismos e exatamente na mesma ordem, mas começando de cada vez por um algarismo diferente. Tentai vós mesmos multiplicá-lo por 5 e por 6. Obtereis de novo os mesmos algarismos e na mesma ordem.

Um dos mais notáveis de todos os números é o que representa a razão do diâmetro da circunferência de um círculo. Este número é designado pelo familiar "n. Não é, porém, tão bem conhecido que η nunca pode ser exatamente expresso, por mais longe que o número vá! Tem sido estendido numa linha de mais de 700 dígitos e pode ser continuado indefinidamente, sem jamais alcançar o fim da fileira de algarismos. Por simples curiosidade, escrevamos os primeiros poucos algarismos desse número irracional:

3.1415926535897932384626433832795……..

Não foi ainda bastante para saciar vosso apetite? Pois bem, aqui vai outra engenhosa amostra de algarismos :

1 x 9 + 2 = 11

12 x 9 + 3 = 111

123 X 9 + 4 = 1111

1234 x 9 + 5 = 11111

12345 x 9 + 6 = 1 1 1 1 1 1

123456 x 9 + 7 = 111 1 111

1234567 X 9 + 8 = 11111111

12345678 X 9 + 9 = 111111111

Curiosidades matemáticas

NAS matemáticas podemos encontrar muitas regularidades curiosas e enganadoras, que aparecem em certos tipos de números. Muitas, são demasiado longas e complicadas para serem expostas aqui, mas há uma classe de fenômenos que intrigou os matemáticos por milhares de anos.

Define-se um número perfeito aquele que é igual à soma de seus fatores. Assim, 6 é um número perfeito,

porque 6=1 + 2 + 3, e estes Vrês algarismos são os únicos fatores, ou divisores, de 6. O próximo número na lista dos perfeitos é 28, porque 28 =1 -f-2 + 4 + 7 -f- 14. Para achar outro perfeito temos de dar um pulo até 496, que é 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 -f 62 + 124 + 248; depois do qual vem 8128. Daqui por diante não há outros números perfeitos até chegarmos a 33.550.336.

Depois vem 8.589.869.056; 137.438.691.328;…………

2.305.843.008.139.952.128, e este último é o maior número perfeito até agora descoberto. Alguém já calculou em nossos dias os fatores desse grupo todo de imensos números! Observou um curioso fato relativo a esses números perfeitos. Cada um deles termina em 6 ou em 28 e isso parece ser regra geral. Embora muito progresso haja sido feita na teoria dos números perfeitos, ainda ninguém sabe com certeza se um número ímpar pode ser perfeito, se bem que pareça improvável. Outra questão é saber se o número de números perfeitos é infinito.

Notai as seguintes peculiaridades relativas aos números 9 e 10:

123456789 vezes 9 mais 10 = 1111111111

123456789 vezes 18 mais 20 = 2222222222

123456789 vezes 27 mais 30 = 3333333333

123456789 vezes 36 mais 40 = 4444444444

123456789 vezes 45 mais 50 = 5555555555

123456789 vezes 54. mais 60 = 6666666666

123456789 vezes 63 mais 70 = 7777777777

123456789 vezes 72 mais 80 = 8888888888

123456789 vezes 81 mais 90 = 9999999999

Desejais mistificar vossos smigos? Então experimentai isto com eles:

Dizei-lhes que escolham três linhas de algarismos e vós escolhereis duas. Mas aqui está o artifício: no momento em que vossos amigos escreveram a fnmeira hnha de algarismos, podereis maravilhá-los escrevendo abaixo a resposta a todas as cinco linhas mesmo antes de serem escritas as outras quatro linhas. Por exemplo:

Suponde que um de vossos amigos escreva o número 3.437.594. Podeis dizer-lhe imediatamente que a soma das cinco linhas de números será 23.437.592. Como obtivestes esse resultado? Simplesmente subtraindo 2 do último algarismo da direita (neste caso 4), e colocando este 2 diante do primeiro algarismo da esquerda.

Vejamos agora todo o artifício:

1. Vosso amigo escolhe 3.437.594

2. Vosso amigo escolhe 2.428.156

3. Vós escolheis 7.571.843

4. Vosso amigo escolhe 3.598.267

5. Vós escolheis 6.401.732

Total 23.437.592

Para obter tão espantoso resultado, tudo quanto tereis de fazer é organizar vossa terceira linha de números escolhendo um algarismo que fará 9 quando somado ao algarismo precisamente acima dele. Assim, vossa terceira linha é 7.571.843. Somais estes algarismos com os algarismos justamente acima deles, 2.428.156 e obtereis 9 em cada caso (7 + 2, 5 + 4, 7 + 2, 1 -f- 8 e assim por diante). Fazei o mesmo com a vossa quinta fileira de algarismos, escolhendo-os de modo a formarem 9 com os algarismos da quarta linha.

Este maravilhoso resultado mostra-se verdadeiro em todos os casos em que haja cinco linhas de algarismo.

Estas são algumas poucas das numerosas propriedades estranhas e relações de algarismos. A matemática é na verdade uma das ciências mais maravilhosas do mundo.

Fonte: Maravilhas do conhecimento humano, 1949. Tradução e Adaptação de Oscar Mendes.