maravilhas das antigas civizações

Continued from: O MÉTODO DE ANÁLISE EM DESCARTES - DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS À CONSTITUIÇÃO DO SISTEMA DO CONHECIMENTO

PARTE I:

DOS
GREGOS A DESCARTES

 

 

 


CAPÍTULO 1

A ANÁLISE DOS ANTIGOS

E A ÁLGEBRA DOS MODERNOS

Descartes é suficientemente claro e incisivo, e as
referências relativamente abundantes, para que se possa hesitar sobre sua
ascendência metodológica. Nos principais momentos de reflexão sobre a temática,
ele sempre se reportou ao método de análise da geometria antiga, enunciando sua
clara intenção de “segui-lo”
[1] em suas investigações e, assim, confessando sua adesão
a essa tradição. De forma semelhante, referências à álgebra dos modernos se
encontram quase que regularmente nessas ocasiões, evidenciando sua consciência
da estreita relação metodológica existente entre as duas disciplinas e seu
propósito de filiar-se a elas. Poderemos ver a seguir que não faltarão indicativos,
nem tampouco ilustrações, a favor da tese de que Descartes se concebe,
paralelamente a algebristas de seu tempo, como descendente dos geômetras
gregos, praticantes do método de análise.

As primeiras referências ao método de análise e à
álgebra se encontram nas Regras, obra que se constitui na tentativa de
uma primeira elaboração do método cartesiano. Na Regra IV, cuja temática, como
diz seu cabeçalho, diz respeito exatamente à necessidade do método para a
procura da verdade nas coisas[2], Descartes
afirma:

os antigos geômetras fizeram uso de
uma espécie de análise, que estendiam à resolução de todos os problemas, ainda
que não a tenham transmitido à posteridade. E, em nossa época, floresce um
gênero de aritmética, que se chama álgebra, que permite fazer no tocante aos
números o que os antigos faziam em relação às figuras. Essas duas disciplinas
não passam de frutos espontâneos dos princípios inatos de nosso método; e não
me admiro que tenha sido nessas artes, cujos objetos são muito simples, que
eles, até aqui, cresceram com maior facilidade que em outras, onde maiores
obstáculos geralmente costumam abafá-los, mas onde também, no entanto, se cultivados
com sumo cuidado, poderão chegar sem dúvida à perfeita maturidade
(X, 373,
13-24; 1985, p. 25).

E
conclui: “Foi o que me propus a fazer principalmente neste tratado” (373,
25-26; 1985, p. 25), como que para dizer que seu método é, ao mesmo tempo, um
prolongamento dos poderes naturais da razão e um polimento ou aperfeiçoamento
do método de resolução de problemas ilustrado pela geometria e pela álgebra,
cuja abrangência irá muito além desses campos, podendo “estender-se para fazer
brotar verdades a respeito de qualquer assunto” (374, 8-9; 1985, p. 26).

Mais
adiante, na mesma regra, para não deixar qualquer sombra de dúvida, o autor
cita os nomes de Pappus e de Diofanto, matemáticos gregos dentre os mais
conhecidos nos séculos XVI e XVII, mas também os principais divulgadores do método
de análise (Pappus) e de sua “generalização” (pelo menos aos olhos de Viète e
do próprio Descartes) para o campo da aritmética e da álgebra (Diofanto). Nesse
mesmo local, Descartes trata novamente da álgebra como prolongamento metodológico
da análise geométrica[3].

Como
segundo locus de referência à filiação metodológica cartesiana, o Discurso segue a mesma linha de raciocínio das Regras. Com o objetivo de
“procurar o verdadeiro método para chegar ao conhecimento de todas as coisas de
que meu[seu] espírito fosse capaz” (VI, 17, 8-10; 1983, p. 36-37), seu autor
afirma “ser mister procurar algum outro método que, compreendendo as vantagens
desses três [praticados pela lógica, pela análise e pela álgebra], fosse isento
de seus defeitos” (VI, 18, 6-8; 1983, p. 37). Mais adiante, afirma que
“tomaria[rá] de empréstimo o melhor da Análise geométrica e da Álgebra, e
corrigiria[rá] todos os defeitos de uma pela outra” (VI, 20, 22-24; 1993, p.
40). Apesar de acrescentar uma terceira disciplina (a lógica (VI,17, 12; 1993,
p. 37)), em uma das duas ocasiões, Descartes aqui também se põe abertamente
como seguidor da prática analítica dos antigos geômetras e dos que lhes
seguiram[4].

Por
fim, as Segundas respostas trazem um terceiro conjunto de indicações
sobre a tradição dentro da qual a metodologia cartesiana se inclui. Perguntado
sobre a possibilidade de “dispor minhas[suas] razões segundo o método dos geômetras”
(IX, 121; 1993, p. 166), Descartes dirá como o tem seguido e pretende ainda
segui-lo[5].
Depois de distinguir, quanto ao “modo de escrever dos geômetras”, a “ordem” e a
“maneira de demonstrar”, ele procede à distinção entre a análise e a síntese e
afirma ter seguido a “via analítica” em suas Meditações[6]. Ora, mais uma vez, Descartes é suficientemente claro, tanto quando afirma estar
“seguindo” (IX, 121; 122) os geômetras gregos em seu procedimento analítico,
como quando diz “imitá-los” (123), para satisfazer seus opositores, em seu procedimento
sintético[7].

Estas
são as principais indicações de que Descartes, não só conhecia a tradição dos
praticantes do método de análise, mas também se põe como seu membro, ao mesmo
tempo continuador e revolucionário, como veremos[8].
Alguém poderia contestar essa ascendência metodológica cartesiana, uma vez que
o método de análise foi originariamente um método geométrico, restrito aos
limites dessa ciência dos antigos, enquanto que o método cartesiano é estendido
para disciplinas não-matemáticas e para a “nova” geometria. Mas é aí que se
encontram um dos méritos e a novidade cartesiana (em parte já realizada pela
álgebra): desvincular o método de análise do conteúdo estritamente geométrico,
por perceber que sua “lógica de descoberta” encarna a própria lógica de funcionamento
da razão humana[9]. Para
Descartes, a geometria antiga, contrariamente à lógica, foi o primeiro campo
privilegiado de manifestação dos poderes resolutivos da razão humana, apesar
das limitações que o conteúdo dessa ciência impunha.

Não
se pode perder de vista, entretanto, a atitude crítica de Descartes em relação
a essa mesma tradição. Principalmente no Discurso (mas também nas Regras (p. ex., X, 377, 2-9)), o autor apresenta objeções à prática e à atitude dos
geômetras e dos algebristas. Por isso, como diz a Segunda Parte da primeira
obra, ele pretende tomar somente “o melhor da Análise geométrica e da Álgebra”
e corrigir “os defeitos de uma pela outra” (VI, 20, 22-24; 1983, p. 40).
Segundo Descartes, o defeito comum dessas duas disciplinas é “de se estenderem
apenas a matérias muito abstratas, e de não parecerem de nenhum uso”, uma vez
que, enquanto matemáticas puras, não são aplicáveis aos problemas concretos da
física e às artes mecânicas em geral. No que diz respeito aos procedimentos
metodológicos propriamente ditos, a “Análise dos Antigos” “permanece tão
adstrita à consideração das figuras, que não pode exercitar o entendimento sem
fatigar muito a imaginação”, enquanto a “Álgebra dos modernos” esteve de tal
modo sujeita “a certas regras ou certas cifras, que se fez dela uma arte
confusa e obscura que embaraça o espírito, em lugar de uma ciência que o cultiva”
(VI, 17, 27-18, 5; 1983, p. 37). Assim, a geometria, se apoiando excessivamente
sobre as figuras e sobre a imaginação (que as “visualiza”), acaba por fatigar
essa capacidade e por faltar em generalidade. Na verdade, a geometria procede
sempre sobre uma figura concreta e, assim, faz novos cálculos para cada caso
particular, enquanto que, se fossem consideradas as figuras em sua generalidade,
o procedimento seria comum para todos os casos. Nesses termos, essa ciência
atua sobre a representação sensível do objeto, em sua concretude e particularidade,
fatigando excessivamente o espírito (a imaginação)[10].
Por sua vez, a álgebra, ao perder o auxílio da imaginação e se apoiar sobre
regras e sobre uma simbologia confusa e diversificada (principalmente a cóssica)[11],
ainda que adquira certa generalidade e alivie o trabalho da memória[12],
obscurece a força do espírito, dado que os passos do cálculo são feitos em
função da aplicação cega e mecânica daquelas regras (e não em razão do exame da
configuração do problema) e a simbologia usada, pela sua “desfiguração”, acaba
obscurecendo a clara percepção das relações entre os objetos[13].

Seja
como for, parece inequívoca a filiação de Descartes a essa tradição dos
praticantes da análise. Os intérpretes, em sua grande maioria, reconhecem não meramente
a inspiração matemática da metodologia cartesiana, mas também sua procedência
analítica[14].
Entretanto, há de se assinalar um fenômeno estranho na história do
cartesianismo: não há propriamente estudos, por parte dos especialistas de Descartes, sobre o método de análise dos geômetras gregos (e algebristas) e
sua relação com o método cartesiano, bem como não há indicativos de que a
maioria desses estudiosos (até recentemente) tenha se beneficiado das pesquisas
e dos debates realizados pelos historiadores da matemática[15].
Em outras palavras, os estudiosos da metodologia cartesiana parecem ter tratado
dessa temática sem relacioná-la à sua fonte de inspiração, permanecendo alheios
à história do método. É ao preenchimento dessa lacuna que se destina, em
primeiro lugar, o texto abaixo[16].

Dentro
dessa perspectiva, a Parte I do presente estudo tem como seu primeiro objetivo
proceder à vinculação e à transição entre os antigos geômetras e Descartes, de
forma a construir a passagem da metodologia dos primeiros à do segundo. Ele
será efetivado em dois momentos. O primeiro, cumprido pelo presente capítulo,
consiste em examinar a natureza e as principais características do método de
análise, praticado pelos gregos, bem como em analisar os procedimentos da
ciência algébrica nascente, enquanto extensão ou prolongamento desse método. O
segundo momento, efetivado no capítulo seguinte, pretende apresentar o problema
de Pappus, exposto na Geometria, como ilustração da atuação da
metodologia cartesiana, de sua estrutura e características, bem como meio de
“comprovação” da filiação do filósofo à tradição dos praticantes do método de
análise. Com isso, um outro objetivo é cumprido, o de oferecer, por meio do
estudo dessa última obra (de parte dela), um primeiro quadro, razoavelmente
definido, do método cartesiano, ainda que restrito ao campo da ciência
matemática. O método de Descartes, desde já, apresenta sua filiação, bem como
suas características marcantes ou linhas distintivas.

1.1 O método de análise dos geômetras gregos

A análise, cuja origem muitas vezes é atribuída a Platão[17] e cuja influência foi extremamente fecunda ao longo da
história do pensamento ocidental[18], é
um método empregado pelos geômetras gregos na atividade de resolução de
problemas (análise problemática) e de demonstração de teoremas (análise
teorética). Sua característica distintiva, conforme sua acepção mais geral, é a
de ser um método que procede, de alguma forma, de trás para frente ou contra a
corrente, por partir do fim (da solução do problema ou da verdade do teorema),
assumindo-o como atingido, para chegar a algo anterior, efetivamente dado ou
conhecido. Somente depois, por meio de sua etapa complementar (a síntese),
procede-se, a partir do que foi alcançado na análise, ao estabelecimento da
solução do problema ou da verdade do teorema.

No caso da análise teorética, a etapa analítica começa
por assumir como verdadeiro o teorema que deseja provar. A partir dessa
pressuposição inicial, ela procura encontrar uma condição anterior, da qual o
teorema possa ser derivado e, sucessivamente, uma outra condição anterior à
primeira, até que se chegue a uma verdade já demonstrada ou a um primeiro
princípio. Conquistada uma tal proposição (um axioma ou um teorema já
conhecido), procede-se à demonstração do teorema inicial, começando pelos resultados
do procedimento anterior e pela inversão de seus passos, até se ter cumprido o
objetivo (a prova do teorema). Na análise problemática, de forma similar, começa-se
por assumir o problema resolvido, isto é, sua solução como dada. A partir dessa
pressuposição, procura-se encontrar sucessivamente etapas anteriores que
possibilitem resolver o problema inicial ou derivar a solução, até se ter encontrado
um ou mais elementos já dados ou passíveis de construção. Atingido esse
estágio, será possível proceder efetivamente à resolução do problema, pela
inversão de seus passos, começando-se pelas etapas finais do procedimento
anterior, até se chegar ao que foi pressuposto inicialmente
[19].

Geralmente chamado de método de análise, na verdade,
esse método deveria ser chamado de método de análise-e-síntese, como têm
insistido HINTIKKA e REMES (1974, p. 17)
[20], mas também como se pode constatar aqui e mais adiante,
pelas descrições existentes desse método e pela própria prática dos geômetras.
Uma vez que o seu objetivo não é somente a descoberta dos elementos que
supostamente constituiriam a prova de um teorema ou a solução de um problema,
mas também a posterior demonstração de que o que foi descoberto efetivamente
prova a verdade do teorema ou soluciona o problema, o método se constitui em um
procedimento conjugado de descoberta (a etapa analítica) e de prova (a etapa
sintética). Entretanto, como foi comum eliminar a etapa analítica
[21] por ocasião da elaboração final dos tratados
(exatamente por ser um procedimento de descoberta), tem prevalecido, dentro da
história desses conceitos e de sua interpretação, a separação das duas etapas,
como se fossem dois métodos, ao invés da manutenção da complementaridade entre
elas
[22]. Seja como for, será importante ter sempre em mente, também
para os propósitos da presente pesquisa, a unidade desses dois procedimentos
complementares
[23].

Como é reconhecido pelos especialistas, o texto de
Pappus (300 d. C.), no início do Livro VII de sua Coleção matemática, é
a mais completa e a mais informativa das descrições que chegaram até nossos
dias. Os gregos deixaram pouquíssimos textos que tratam do assunto
[24]. Em razão disso, a discussão mais detalhada da natureza
e das características desse método gira em torno da compreensão e interpretação
desse texto, ao lado de ilustrações extraídas da prática dos geômetras. Assim
sendo, segue abaixo a
famosa passagem
do texto de Pappus:

O assim
chamado Tesouro da Análise, meu filho Hermodoro, é, em resumo, um corpo
especial de doutrinas preparado para o uso daqueles que, depois de terem
examinado os elementos comuns, desejam adquirir a capacidade de resolver
problemas teoréticos que lhe são propostos; e ele é útil somente para esse
propósito. É resultado do trabalho de três homens: Euclides, o autor dos
Elementos,
Apolônio de Perga e Aristeu, o Antigo, e procede pelo método de análise e síntese.

A análise é o
caminho que parte daquilo que é procurado – considerado como se fosse admitido
– e segue, em ordem, através de seus concomitantes [akólouthon, cuja tradução
usual é “conseqüências”], até algo admitido na síntese. Pois, na análise, supomos
o que é procurado como já tendo sido feito e investigamos aquilo do qual ele resulta,
e de novo qual é o antecedente deste último, até que, no nosso caminhar para
trás, alcancemos algo que já é conhecido e primeiro na ordem. A um tal
procedimento chamamos de análise, por ser uma solução de trás para frente. Na
síntese, por outro lado, tomamos como já feito aquilo que na análise foi por
último alcançado e, arranjando em sua ordem natural como conseqüente o que
antes era antecedente e conectando-os uns aos outros, chegamos por fim à construção
da coisa procurada. E a isso chamamos síntese.

A análise é de duas espécies. Uma
procura a verdade, sendo chamada teorética. A outra serve para produzir o que
se desejava fazer, e essa é chamada problemática. Na espécie teorética, supomos
a coisa procurada como existindo e sendo verdadeira, e então passamos em ordem
pelos seus concomitantes [conseqüências], como se fossem verdadeiros e existentes
por hipótese, até algo admitido; então, se aquilo que é admitido é verdadeiro,
a coisa procurada é também verdadeira, e a prova será o reverso da análise.
Porém, se chegarmos a algo que é falso admitir, a coisa procurada também será
falsa. Na espécie problemática, supomos a coisa desejada como sendo conhecida e
então passamos, em ordem, pelos seus concomitantes [conseqüências], como se fossem
verdadeiros, até algo admitido. Se a coisa admitida é possível ou pode ser feita,
isto é, se ela for o que os matemáticos chamam de dado, a coisa desejada será
também possível. A prova será novamente o reverso da análise. Mas se chegarmos
a algo impossível de admitir, o problema será também impossível
[25].

Como
se pode perceber, o texto de Pappus, após
se referir ao “Tesouro
da Análise” e a geômetras mais antigos que elaboraram um corpo de doutrinas ou
um conjunto de material útil para o tratamento de problemas complexos, oferece
uma caracterização geral da análise e da síntese e, por fim, apresenta os dois
tipos de análise. Não é difícil de perceber, também, a atuação conjunta e
complementar de suas duas etapas. Tanto no caso da análise teórica quanto da
análise problemática, o procedimento analítico não representa a demonstração do
teorema, nem a resolução do problema. A etapa analítica é a procura da prova ou
da construção da solução; ela é um procedimento de descoberta, de invenção e
emprega procedimentos heurísticos antes que demonstrativos. É à síntese, como
etapa complementar, que cabe o estabelecimento da verdade do teorema ou a
efetiva resolução do problema, por meio da inversão dos passos descobertos na
análise.

A
descrição de Pappus, entretanto, apresenta vários problemas, como reconhecem os
intérpretes. Dentre eles, destaca-se o problema da natureza dos passos da etapa
analítica e de seu aspecto direcional. Os estudiosos têm tradicionalmente
procurado, em suas investigações, determinar se a análise consiste em extrair
conseqüências lógicas do pressuposto inicial (o teorema que se pretende provar
ou a solução do problema) ou, pelo contrário, se ela procura remontá-lo a suas
condições ou antecedentes e, com isso, determinar se ela é descendente ou
ascendente[26].

O
debate, desde o final do século passado, tem dado origem a posições antagônicas.
Dentre elas, destacam-se quatro: a) a primeira, amplamente dominante até pouco
tempo e, como tal, denominada de interpretação tradicional, considera a análise
como dedutiva (e ascendente somente por se opor à síntese); b) a segunda a vê
como exclusivamente ascendente e não-dedutiva; c) a terceira atribui a Pappus a
descrição de dois métodos distintos, apesar da aparência de estar tratando de
um único; d) a última considera o problema da direção da análise um problema
superficial e propõe uma alternativa à “interpretação direcional”, comungada
pelas interpretações anteriores. Como o tema foi exaustivamente discutido ao
longo desse século, ele será apresentado através do próprio debate, travado
entre os vários intérpretes. A interpretação assumida aqui segue as linhas
gerais (por vezes, também pontuais) daquela exposta pelos defensores da última
posição e por outros que seguiram seus passos[27].

Conforme salientaram vários intérpretes, tem sido
comumente aceito, desde HANKEL e CANTOR (apud ROBINSON, 1983, p. 5, n.
1), passando por HEATH (1956, p. 137-142)
[28], até estudiosos mais recentes, que a análise é um
procedimento dedutivo, cujo objetivo é extrair conseqüências do pressuposto
inicial, assumido como dado, até se chegar a algo reconhecidamente verdadeiro
ou dado. Seguindo Heath e Robinson, pode-se caracterizá-la da forma apresentada
abaixo. Se for requerido provar que uma proposição A seja verdadeira
(neste caso, seria uma análise teorética, mas o mesmo raciocínio vale para a
análise problemática), assume-se por hipótese a verdade de A e pergunta-se o que dela se segue. Descobre-se que, se A for verdadeira, uma
outra proposição B também o será. Considerando o que se segue de B,
descobre-se que se B for verdadeira, C também o será. Procede-se,
desse modo, até se atingir uma proposição K, que seja reconhecida como
verdadeira de forma independente. Essa proposição K pode ser tanto um
axioma, um teorema já demonstrado ou uma construção que se sabe possível. O
importante é que ela seja conhecida independentemente de A. Feito isso,
a análise dá lugar à síntese, cujo objetivo é inferir, na ordem reversa, que A será verdadeira também, dado que K é verdadeira.

Pode-se perceber claramente que a etapa analítica é
interpretada como um processo dedutivo, da mesma forma que a etapa sintética.
Esquematicamente, a análise segue a seguinte seqüência: A
®B®C®®K. A síntese segue a ordem contrária: K®®C®B®A. Essa interpretação, como reconhecem os autores, pressupõe
que os vários passos da cadeia sejam incondicionalmente convertíveis. Em outras
palavras, as implicações devem ser recíprocas, pois, como salienta HEATH (1956,
p. 139), dado que do falso é possível extrair o verdadeiro (como dizia Aristóteles),
a verdade de A só estará garantida diante da completa reversibilidade
das implicações. Dentro dessa perspectiva, a descrição da etapa analítica tem
sido geralmente traduzida de forma distinta daquela dada na citação fornecida acima,
cuja modificação fundamental é a substituição do termo “concomitante” por
“sucessivas conseqüências”, conforme está posto entre colchetes
[29].

Essa interpretação possibilita compreender também o que
é dito no final da citação de Pappus, no caso da análise chegar a algo
reconhecidamente falso ou impossível. Segundo tais autores, somente se cada
passo for incondicionalmente recíproco, pode-se assegurar que, sob o ponto de
vista lógico, diante da falsidade de K (como resultado da análise)
segue-se imediatamente a falsidade de A, sem a necessidade de a síntese
ser efetuada, conforme diz Pappus. Portanto, o pressuposto da reciprocidade dos
passos representa a garantia lógica de que, diante de um resultado negativo da
análise, a síntese é dispensada e a proposição inicial é falsa, ou o problema é
impossível. Disso se segue, conforme alguns salientam (p. ex., ROBINSON, 1983,
p. 6; HEATH, 1956, p. 140), que a reductio ad absurdum é um caso
especial de análise
[30].

Entretanto, essa interpretação tradicional apresenta,
pelo menos, dois grandes problemas. O primeiro diz respeito ao fato de que, a
priori
, não se pode assumir que todas as proposições geométricas sejam
recíprocas. Na verdade, afirma HEATH (1956, p. 139), um grande número de
teoremas da geometria elementar é incondicionalmente convertível e, com isso,
na prática, não há grande dificuldade de se tratar o problema. Entretanto,
ninguém pode garantir que elas são sempre convertíveis. Tais autores
reconhecem o problema, mas apontam geralmente que, se um passo não for incondicionalmente
convertível, ele poderá se tornar mediante certa condições adicionais, dentre
as quais destaca-se a função desempenhada pelo diorismos[31].

O segundo problema diz respeito à conciliação das várias
afirmações sobre a etapa analítica. Mesmo traduzindo os termos supracitados por
“sucessivas conseqüências”, ao invés de traduzir por “concomitantes” ou mesmo
por “sucessão de passos subseqüentes” (como será o caso de Cornford), resta a
conciliar essa visão dedutivista da análise com o que vem a seguir, no meio do
segundo parágrafo do texto de Pappus. Com efeito, a segunda frase da
caracterização geral da análise, como todos admitem, afirma: “Pois, na análise,
supomos o que é procurado como já tendo sido feito e investigamos aquilo do
qual ele resulta
, e de novo qual é o antecedente deste último, até
que, no nosso caminhar para trás, alcancemos algo que já é conhecido e primeiro
na ordem. A um tal procedimento chamamos de análise, por ser uma solução de
trás para frente”. Isso significa claramente, pelo menos em uma primeira
leitura, que à análise não cabe extrair conseqüências lógicas, mas, ao contrário,
a ela se atribui a busca de antecedentes ou de premissas e, como tal, ela é
verdadeiramente um movimento ascendente e não-dedutivo.

A solução desses intérpretes, de um modo geral, consiste
em afirmar que, aqui, Pappus está descrevendo a análise em comparação à
síntese, ou seja, em relação à etapa realmente demonstrativa, que segue a
“ordem natural”. Em outras palavras, como diz ROBINSON (p. 14-15), “A razão
pela qual [Pappus] se expressa dessa forma inesperada é porque está encarando a
análise como existindo em função da síntese; isso o faz descrever os passos da
análise não como aparecem na ocasião em que ela está sendo feita, mas como
aparecem na síntese subseqüente”. Além disso, a “não-naturalidade” da análise
em contraposição à ordem natural seguida pela síntese não significa que a
primeira seja ascendente e não-dedutiva, mas somente que, apesar de dedutiva,
“partimos de uma proposição que não sabemos se é verdadeira e a tratamos como
se soubéssemos que fosse”; e isso não é uma atitude natural. Por fim, completa
HEATH (1956, p. 140), a síntese está sempre lá para averiguar ou confirmar a
reversibilidade dos passos.

Apesar dessas tentativas para solucionar tais problemas,
esta concepção tradicional tem enfrentado resistências da parte de alguns
historiadores da matemática ou de estudiosos do pensamento grego, até receber
uma crítica mais frontal da parte de Cornford. Historiadores como Duhamel e
Zeuthen já haviam reconhecido uma certa ambigüidade ou duplicidade na descrição
de Pappus. DUHAMEL (apud SOUZA, p. 67-68; 75-76) aceitou a existência de
uma análise ascendente em Pappus, mas logo se apercebeu das dificuldades de um
tal procedimento e o reservou para casos onde a análise descendente se mostrou
impossível, por não serem os passos recíprocos. Mas, nesse caso, dificilmente
poder-se-ía chamar uma tal procedimento de metódico, pois muitas vezes ele poderia
resultar em nada. Essa idéia foi claramente expressa por Zeuthen, quando disse
que a análise ascendente, ainda que pudesse ser fecunda, estaria acometida por
uma certa incerteza (ou adivinhação) que a desqualifica enquanto método.

A exposição mais completa da análise como movimento
exclusivamente ascendente é a de CORNFORD (1932). Segundo esse autor, a análise
não é um procedimento dedutivo, pois consiste em investigar, não o que se segue
da proposição inicial ou da solução assumida como dada, mas em procurar saber de
que
proposição ela se segue, prosseguindo para trás até se ter
alcançado algo independentemente conhecido ou dado. Em outras palavras, ao
contrário da posição anteriormente defendida, a análise não começa pela busca
do que é implicado por A, mas pergunta o que poderia implicar A.
Nesse caso, ela seguiria a seguinte seqüência: A
¬B¬C¬¬K. A síntese continuaria como na interpretação anterior: K®®C®B®A. Como suporte à sua posição, Cornford argumenta que,
tradicionalmente, Pappus foi mal traduzido, quando os intérpretes entenderam se
tratar, na análise, da busca de conseqüências e traduziram por “sucessivas
conseqüências” (ver termos entre colchetes, na citação de Pappus) o que na
verdade significa apenas “a sucessão de passos subseqüentes”, sem sentido
lógico, mas apenas temporal
[32]. E, assim, conclui o autor, a análise é exclusivamente
um movimento ascendente de busca de premissas, não se constituindo em um processo
de dedução. A síntese, sim, é dedutiva e a favor da corrente; e, nesse caso,
torna-se clara a afirmação de Pappus, quando diz que a síntese arranja “em sua ordem
natural
como conseqüente o que antes era antecedente”, enquanto a análise é
não-natural e atua contra a corrente
[33].

O maior problema da interpretação de Cornford é que ela
se apóia sobre a completa exclusão da possibilidade dos passos proposicionais
serem recíprocos, não podendo representar, assim, conseqüências lógicas nos
dois sentidos. Sua maior fraqueza consiste em ter afirmado (CORNFORD, p. 41, apud ROBINSON, p. 9) que “não se pode seguir a mesma seqüência de passos primeiro
num sentido, e depois no sentido contrário, e se chegar a conseqüências lógicas nas duas direções”. Como mostra ROBINSON (p. 9-10), “se esse princípio
fosse verdadeiro, o método de análise, tal como descrito pelos historiadores da
matemática, seria uma impossibilidade lógica; e se os geômetras gregos
realmente supunham utilizar um tal método, estavam grosseiramente enganados”.
Ora, esse “absurdo lógico” não pode ser atribuído aos geômetras gregos, nem os
historiadores poderiam ter inadvertidamente partilhado uma tal concepção. Como
mostra a prática dos geômetras antigos (e o erro de Cornford está em não
tê-la examinado), continua Robinson (seguindo o que já dizia Heath), a maioria
das proposições são recíprocas (ou passíveis de se tornarem recíprocas), ainda
que não de forma tão evidente como na matemática moderna
[34]. Evidentemente, confessa ele, a seqüência de passos nem
sempre é exatamente a mesma na análise e na síntese, e muitas vezes proposições
auxiliares são necessárias, para funcionarem não como “elos da cadeia”, mas
como “pinos que mantém os elos unidos” (ROBINSON, p. 12), não como a água da
corrente do rio, mas como as “margens da corrente” (p. 13). E conclui: isso não
é uma objeção à interpretação tradicional, mas mostra somente que “raciocinamos
por entimemas” (p. 12). Além disso, se Cornford estivesse correto, Pappus teria
cometido um erro lógico, ao firmar que, “se chegarmos a algo que é falso admitir,
a coisa procurada também será falsa”: não sendo a análise dedutiva, ela não

poderia garantir, diante da conquista de algo reconhecidamente falso, a
falsidade de seu ponto de partida, pois premissas falsas podem originar
conclusões verdadeiras[35]. Logo, a interpretação de Cornford, apesar de
parcialmente sustentada por outros historiadores, não consegue se tornar mais
convincente que a posição dominante.

Em função da existência dessas duas interpretações
incompatíveis, cada uma apoiada sobre partes do relato de Pappus, Gulley
sustenta que Pappus descreve duas formas distintas da análise geométrica. Para
isso, ele se apóia também em evidências externas ao relato. Não há dúvida, diz
GULLEY (1983, p. 18-19), de que ARISTÓTELES nos Segundos analíticos (78a, 10-13), entre outros autores antigos, era consciente de que um grande
número de proposições geométricas era convertível; mas nem por isso deixou de
caracterizar o método dos geômetras, na Ética a Nicômaco (III, 1112b, 20-ss)[36],
como um movimento ascendente, quando o comparou ao processo de deliberação de
uma ação humana. De forma semelhante, Pappus está descrevendo, na verdade, duas
abordagens diferentes da análise geométrica, uma ascendente, quando trata do
sentido da análise em geral, e outra descendente, quando descreve os dois tipos
de análise e assinala as conseqüências diante de um resultado negativo. Assim,
ao invés de um único método, diz GULLEY (p. 26-27), Pappus estaria apresentando
inadvertidamente duas formulações distintas do que pensou ser um mesmo método.

A maior objeção à posição de Gulley, como dirão HINTIKKA
e REMES (1974, p. 13), é que ela não consegue reconciliar as diferentes partes
da descrição de Pappus e acaba por acusá-lo de inconsistência. Por outro lado,
se uma tal acusação a um matemático desse porte é inadmissível, as conclusões
de Gulley mostram que deve haver algo a ser revisto no que diz respeito ao
conjunto de todas as interpretações anteriores, uma vez que a posição desse
intérprete é, por assim dizer, delas decorrente.

Nessa perspectiva, a interpretação de Hintikka e Remes
não parte somente da insuficiência e das dificuldades das interpretações
anteriores, como cada uma fazia com sua adversária, mas constata também que
todas elas partilham de pressupostos comuns, dentre os quais se destaca o problema
direcional do método, aquele que se interessa em saber se a análise é
descendente ou ascendente e se seus passos formam seqüências dedutivas ou não.
A demasiada preocupação com a direção dos passos proposicionais, além de não
fornecer uma interpretação satisfatória do relato de Pappus, acabou por
negligenciar outros elementos característicos desse método, tais como seu valor
heurístico e a não-trivialidade de sua lógica (HINTIKKA e REMES, 1974, p. 2-3).
Partindo de um novo estudo da terminologia, cuja principal inovação é a
tradução do polêmico termo “akólouthon”, utilizado para caracterizar o
percurso que parte da conclusão desejada para as premissas, por “concomitante”
ou “o que vai juntamente com” (p. 15)[37],
contrariamente a outros termos que descrevem o percurso dedutivo[38] das premissas para a conclusão, tais autores mostram que o problema direcional
é um problema superficial, ou até insolúvel, mantida sua formulação
tradicional. Em outras palavras, uma interpretação simples e dentro do quadro
que vinha sendo feita se mostrará sempre inviável
[39].

Como tentativa de examinar com mais detalhes a
problemática, uma vez reconhecida sua complexidade, o primeiro ponto a
considerar é a unidade do método de análise-e-síntese. Como HINTIKKA e
REMES (1974, p. 17) salientam, tanto a descrição do método como a prática
geométrica mostram tratar-se aqui de um método conjugado de análise e síntese. Sendo duas as etapas do método, ambas em princípio indispensáveis, não
se pode pretender entendê-lo senão em seu conjunto e por meio da determinação
exata das características e funções próprias de cada uma delas. Elas (e suas
partes) serão estudadas mais adiante[40].

Em segundo lugar, é muito importante avaliá-lo sob a
perspectiva de sua fecundidade e poder heurístico, mesmo porque foi como
procedimento de descoberta que se tornou conhecido, adquiriu notoriedade e se
tornou influente ao longo dos séculos. Dentro dessa perspectiva, não se
justifica a acusação dos partidários da análise dedutiva de que uma
interpretação exclusivamente ascendente significaria sua descaracterização como
método, pois ela seria muito mais adivinhação e intuição
[41] que um procedimento regulado ou normatizado. Nada poderia
estar tão longe da verdade, afirmam os autores, pois as regras que dizem quando
uma determinada conclusão se segue dedutivamente de uma premissa (ou de um
conjunto de premissas) também funcionam no sentido contrário, dizendo se uma
determinada premissa (ou um conjunto delas) pode(m) acarretar uma certa
conclusão dada. Visto que, concluem eles, não há “razão objetiva” alguma para
uma tal assimetria entre as duas direções (a única diferença é que uma é mais
familiar do que a outra), o geômetra pode proceder contra a corrente por meio
do mesmo esquema se procedesse a favor da corrente. Conseqüentemente, não há
relação alguma entre o aspecto direcional da análise e sua utilidade heurística
(HINTIKKA e REMES, 1974, p. 18-19)[42].

Nessa sentido, estes autores oferecem uma interpretação
muito mais rica e convincente, além de isenta de problemas semelhantes àqueles
enfrentados pelas outras interpretações. Como se pôde perceber nas discussões
anteriores, a análise e a síntese foram caracterizadas a partir da perspectiva
de uma via de mão dupla, cuja preocupação era a de saber em que sentido cada
uma das etapas a percorria de uma extremidade a outra, sempre de forma linear e
enfatizando os passos proposicionais, antes de privilegiar a singularidade do
método e os mecanismos por ele utilizados, dos quais esses passos eram
resultantes. Em outros termos, o problema direcional da análise não era senão
reflexo de uma “interpretação proposicional”, caracterizada basicamente pela linearidade de seus passos e pelo descuido para com a construção desses mesmos passos.
Em contraposição a essa interpretação, esses autores elaboram uma outra que vê
a análise como uma “análise de configurações” (HINTIKKA e REMES, 1983, p. 39)
ou, mais propriamente, no caso específico da geometria, como uma
“análise-de-figuras” (1974, p. 32). Segundo essa nova interpretação, em
resposta à pergunta: “afinal, o que a análise analise?” (1974, p. 31), deve-se
responder que ela analisa a configuração geométrica dada (ou ampliada),
em função da descoberta da prova do teorema ou da construção do problema. O
objeto da análise geométrica é fundamentalmente a figura, isto é, a complexidade
dos objetos geométricos envolvidos, suas inter-relações e interdependências (p.
32), em função da questão proposta. Desse modo, os passos da análise são passos
de objetos geométricos para outros objetos geométricos, e não entre verdades ou
mesmo entre proposições geométricas[43]. O
analista não tem, portanto, sua atenção voltada para a estrutura formal que se
estabelece entre uma proposição e outra, porque atua diretamente sobre o
conteúdo apresentado; não se interessa também pela direção das relações lógicas
entre elas, pois, na verdade, a etapa analítica não tem (ou não precisa ter)
direção alguma, simplesmente porque é anterior a qualquer ordenamento propriamente
dito ou é a própria descoberta ou constituição desse ordenamento
[44].

A primeira característica da análise é, pois, sua
atuação direta e sem intermediação (de entidades lingüísticas, de regras de
inferência, de um aparato lógico-formal, etc.) sobre a figura ou sobre os
objetos geométricos que a compõem. Nesse caso, é verdade, ela se apóia sobre o
ato de “intuir”, como dizia Cornford; porém, não no sentido dado por ele (de
“adivinhar”, de confiar na sorte para encontrar uma premissa), mas em um
sentido por assim dizer cartesiano, na medida em que o analista olha para a
configuração dada, manipula seus elementos componentes e procura ver ou intuir
(e construir) as relações que ela esconde. Poder-se-ia mesmo dizer que a
análise geométrica antecipa a crítica cartesiana à lógica, uma vez que mostra
como constituir uma ciência sem o aparato lógico, sem regras formais e com uma
atuação da “razão” diretamente sobre o conteúdo ou sobre a complexidade
“material” dada.

Liga-se a essa característica a necessidade do método atuar
sempre sobre um caso concreto da configuração em exame. Conforme diz PROCLUS (apud HEATH, 1956, p. 129-131), o primeiro passo em toda proposição euclidiana (problema
ou teorema) é sua enunciação geral (prótasis), na qual se encontram
tanto o que é dado (dedomena) quanto o que é procurado (zetoumenon).
Essa enunciação não se refere a nenhuma configuração em particular, mas
a toda e qualquer configuração geométrica que satisfaça o enunciado. Ela
não diz respeito a este ou aquele triângulo, a este ou aquele círculo, mas a qualquer triângulo, a qualquer círculo, isto é, a qualquer objeto do tipo
referido na proposição. Nesse caso, diante da não-disponibilidade de uma
simbologia que a capacite a atuar dentro de uma forma mais geral e abstrata
(como é o caso da geometria analítica), a geometria antiga precisa atuar sobre
um caso particular
[45]. Esse segundo passo no exame de uma proposição euclidiana
é sua explicitação ou exibição particular (ekthésis)[46].
Em termos da lógica moderna, a passagem para esse segundo passo implica uma “instanciação”
da enunciação geral (HINTIKKA e REMES, 1974, p. 35). Essa instanciação vem
acompanhada da representação gráfica da configuração geométrica, ou seja, da
figura desenhada sobre o papel, prática geométrica que facilita ou fortifica
ainda mais a interpretação da análise como análise-de-figura, uma vez que,
desse modo, os objetos podem ser melhor examinados no interior da complexidade
dada e em função de suas inter-relações e interconexões aí presentes (dadas e
construídas)[47].

A segunda característica do método de análise é sua
capacidade de lidar com a estrutura do enunciado em questão (ou da problemática
fornecida) e de utilizá-la da melhor forma, para extrair o máximo de
informações que dispõe. A famosa frase “suponha o problema resolvido” ou outra
equivalente
[48] não é um mero artifício lingüístico ou retórico, sem
conseqüência heurística. Por meio dela, a análise considera o desconhecido como
dado ou como se fosse conhecido e, com isso, utiliza a sua “presença” e o poder
heurístico que fornece. A fecundidade da etapa analítica provém da utilização
dos poderes do procurado, da sua “força lógica”, como dizem HINTIKKA e REMES
(1974, p. 35). Mas isso não significa que se deva ir do procurado (zetoumenon)
em direção ao dado (dedomena), seja extraindo conclusões, seja buscando
premissas, como muitos pretendem. Sendo ambos dados, ainda que a “dação” de
cada um seja distinta, a análise os utiliza, como melhor lhe aprouver. A postura
do analista é a de estabelecer ou construir relações úteis entre todas as
entidades dadas ou disponíveis, no interior da complexidade em exame, tendo sempre
em mente que seu objetivo final é a determinação do desconhecido pelo conhecido[49].

Nesse caso, pode-se dizer que a análise pretende
preencher o vão existente entre o que realmente é dado e conhecido e o que é
procurado e desconhecido, atuando indistintamente sobre os dois “extremos da
cadeia”, tanto de forma conjunto quanto separada. Assim, a descrição de Pappus
da análise como movimento de trás para frente é o reconhecimento de que o fim
desejado, estando sob os olhos do analista, é realmente utilizado
heuristicamente ao longo do processo analítico, sem nunca perder de vista o
fato de ser, na realidade, conseqüente ou conclusão, cujas premissas devem ser
encontradas. Dentro dessa perspectiva, poder-se-ia dizer que a análise,
“intencionalmente”, é um movimento ascendente, como Pappus parece realmente
afirmar. HINTIKKA e REMES admitem que a descrição da análise de Pappus reflete
a “situação lógica” (1974, p. 18) do método, no sentido de que, efetivamente,
ela pretende buscar os passos dos quais o teorema e a construção se seguem[50].
Entretanto, a prática geométrica é predominantemente dedutiva, cuja razão
principal é que um procedimento rigorosamente ascendente é, se não pouco
viável, pelo menos muito limitante, uma vez que a fecundidade e o poder
heurístico do método se ampliam pela utilização conjunta, do zetoumenon e
do dedomena, bem como de todos os axiomas conhecidos e dos resultados já
demonstrados anteriormente. A tentativa de proceder, pois, somente a partir do zetoumenon restringiria os poderes do método, como também poderia significar a falta de
critérios na escolha do caminho a seguir, conduzindo o analista, por vezes,
para mais longe do dedomena[51]. Assim, na prática, o geômetra procede dedutivamente tanto a partir do que é
dado quanto do que é procurado, apoiando-se seja em um ou em outro, seja em
ambos.

A terceira característica da análise é sua capacidade de
introduzir novos objetos geométricos e, conseqüentemente, de enriquecer a
configuração inicial. Por ocasião do exame de um teorema ou de um problema, a
configuração apresentada em sua enunciação geralmente não é suficiente para que
a análise seja conduzida com sucesso, tendo necessidade de ampliar a figura por
meio de construções auxiliares. Em outros termos, as construções auxiliares são
necessárias para o estabelecimento de relações ou de passos intermediários
entre os objetos examinados, na tentativa de conectar o que é dado (conhecidos)
com o que é procurado (desconhecido): é comum ser preciso introduzir novos
objetos para que a cadeia de dependências entre os elementos do problema seja
construída ou exibida de forma completa e satisfatória. Desse modo, a
introdução de novos objetos afasta, ainda mais, a análise de ser meramente
linear, mas também a afasta de qualquer procedimento totalmente previsível,
dado que as construções auxiliares acrescentam ramificações ou elementos novos,
pretensamente fecundos à resolução da dificuldade proposta.

Essa característica é, ao mesmo tempo, segundo HINTIKKA
e REMES (1974, p. 44), um dos aspectos mais importante do procedimento
analítico, pois a escolha acertada das construções representa em geral o passo
mais importante em direção à possibilidade de se encontrar a prova do teorema
ou a solução do problema, mas também traz uma certa incerteza, pois não se
sabe, de antemão, se as construções introduzidas serão suficientes. Nesse
sentido, as construções auxiliares representam a fecundidade do método, mas
também sua “instabilidade”, pois não se pode, em geral, garantir antes da
síntese que ela tem sido bem-sucedida[52].

Existem
ainda três observações a serem feitas sobre as características da análise,
antes do exame de um exemplo. A primeira diz respeito a uma primeira versão do
método, a redução (apagogé). Há evidências de que essa concepção de análise
(ou esse tipo especial de análise) foi empregada por Hipócrates de Quios
(primeira metade do séc. V a. C.)[53] ou
até pelos primeiros pitagóricos, como Teodoro de Cirene e Arquitas de Taranto.
PROCLUS (apud HEATH, 1956, p. 135) atribui a Hipócrates a invenção do
método apagógico, que consistia na redução de um problema a outro, na redução
ou recondução de um problema mais complexo a um outro mais simples, o qual,
encontrando-se resolvido, possibilitaria a resolução do primeiro. O exemplo
mais famoso desse procedimento é o da redução do problema da duplicação do cubo
ao problema da construção de dois meios proporcionais entre duas grandezas
conhecidas[54].
Mas os outros dois famosos problemas, o da quadratura do círculo e o da
trisecção do ângulo, também foram objeto, na época, de tratamento ou tentativas
semelhantes. É importante, pois, ter presente essa dimensão do procedimento
analítico: a redução de um problema complexo a um outro mais simples é um
importante passo na resolução de um problema, mesmo que este último também não
esteja ainda resolvido[55].

A
segunda observação é referente à divisão de cada uma das etapas do método.
Tanto a etapa analítica quanto a sintética são compostas de duas partes, com
características e funções distintas, ainda que os geômetras não lhes têm
atribuído nomes e nem sempre são claramente distinguíveis. A primeira parte da
análise consiste em analisar ou transformar, supondo dado também o procurado,
as condições ou relações iniciais, fornecidas pela enunciação da proposição
(seja pelo dedomena, seja pelo zetoumenon), em outras condições
ou relações, as quais serão necessariamente cumpridas ou dadas se as primeiras
o são. Nessa etapa, além disso, é preciso geralmente acrescentar novos objetos,
por meio de construções, à configuração dada. Essa etapa foi chamada, a partir
de HANKEL, de transformação (apud HEATH, 1956, p. 141), e
Hintikka e Remes chamam-na também de análise propriamente dita. A
segunda parte da etapa analítica é chamada de resolução (também desde
Hankel), cuja função é mostrar a independência dessas relações ou objetos
extraídos na transformação em relação à pressuposição de que o problema
esteja resolvido (portanto, em relação ao zetoumenon). Essa etapa
mostra, em outras palavras, que os passos apresentados na transformação podem ser derivados (portanto, podem ser considerados como dados adicionais) a
partir somente do dedomena e de outras proposições conhecidas (axiomas
ou teoremas demonstrados anteriormente). Com isso, finda a etapa analítica,
cujo objetivo foi o de mostrar que os dados iniciais (fornecidos na
enunciação), acrescentados de novos dados, deles diretamente ou indiretamente
derivados, devem poder ocasionar o que se procura. A etapa sintética, por assim
dizer, organiza em dois momentos o que foi apresentado e descoberto na análise
e prova a verdade do teorema ou a solução do problema. A primeira parte da
síntese chama-se construção e, como o termo já diz, nela são
efetivamente realizadas as construções suficientes (sem se basear em quaisquer elementos
hipoteticamente dados ou no fim que se almeja chegar) para que a configuração
esteja completa. A segunda parte chama-se demonstração, cuja função é
provar que a construção feita soluciona o problema ou as relações apresentadas
estabelecem a verdade do teorema.

Por
fim, a terceira observação é quanto ao fato de que a etapa analítica do método
não resolve a questão e, em princípio, não garante o sucesso da síntese, ainda
que o analista “saiba” ou “pressinta” quando parar, em razão das relações
construídas ou descobertas. O objetivo da etapa analítica não é solucionar ou
provar o que pede a enunciação da proposição sob investigação. É, antes disso,
descobrir ou inventar relações entre os objetos da configuração (transformação)
e mostrar a possibilidade de construí-los ou de serem dados (resolução).
A resolução da questão decorre, depois disso, da construção efetiva do que a resolução apresenta e da prova de que o resultado se segue (demonstração). A construção depende do sucesso de ela retomar os passos da resolução e reordená-los
de forma que eles possam ser (e são) efetivamente realizados e determinados a
partir dos dados originais da proposição. Como tal, ela é propriamente o
contraponto da resolução e, ainda que ambas não se baseiam em nada do
procurado (zetoumenon), elas se distinguem como a possibilidade se
distingue da efetividade. Por sua vez, a demonstração é o contraponto da transformação, e seu sucesso depende do sucesso da inversão dos passos
da transformação. Em resumo, apesar da etapa analítica apresentar todos
os elementos suficientes para a resolução da questão, ela não a resolve porque
apresenta passos meramente possíveis e outros baseados no fim que se procura atingir.

descartesUma vez apresentadas as principais
características do método de análise-e-síntese dos geômetras gregos, segue
abaixo, como tentativa de ilustrá-lo, um exemplo extraído da Coleção matemática (PAPPUS, Livro VII, Prop. 105, p. 640-42)[56].
Pappus, depois de enunciar a proposição já instanciada, apresenta a análise e a
síntese separadamente e numa seqüência de passos dentro de um texto contínuo,
sem enumerá-los, ao contrário do que será feito aqui. Os nomes das partes também
não são dele, como já se disse (o texto de Pappus corresponde ao que está em
itálico, além dos nomes “análise”
e “síntese”). Além
disso, seguindo o que HINTIKKA e REMES fazem em relação a outro exemplo
examinado (1974, p. 22-26), bem como as observações elucidativas de Ver Eecke
dadas no texto de Pappus, as notas pretendem esclarecer e justificar os passos
mais complicados. Segue, abaixo, o exemplo.

Proposição 105
(Livro VII)

Enunciação:

I) O que é dado (dedomena):

Dados um círculo ABC e dois pontos D e
E, externos a ele, traçar as retas DB e EB, a partir de D e E até um ponto B no
círculo, tais que, se os prolongamentos de DB e de EB encontrarem o círculo novamente
em C e em A, …

II) O que é procurado (zetoumenon):

… AC seja
paralelo a DE
[57].

Análise:

Suponhamos o
problema resolvido[58] e a tangente em A traçada, encontrando

o prolongamento
de ED em F
[59].

I) Análise própria ou transformação:

1) Então,
desde que AC é paralelo a DE, o ângulo em C é igual ao ângulo CDE
[60].

2) Mas, como
FA é uma tangente, o ângulo em C é igual
ao ângulo FAE[61].

3) Portanto,
o ângulo FAE é igual ao ângulo CDE; e, assim, A, B, D e F estão sobre

o mesmo
círculo
[62].

4) Portanto,
o retângulo AE, EB é igual ao retângulo FE, ED
[63].

II) Resolução:

1) Mas o retângulo AE, EB é dado, pois é igual ao quadrado sobre a
tangente a partir de E
[64].

2) Portanto, o retângulo FE, ED é dado[65].

3) E, como ED é dado, então FE é dado (em comprimento)[66].

4) Mas FE é também dado em posição, de modo que F é dado[67].

5) Agora, FA é a tangente, a partir de um ponto dado F, a um círculo
ABC, dado em posição; portanto, FA é dado em posição e magnitude
[68].

6) E o ponto F é dado; então, A é dado[69].

7) Mas E é também dado; portanto, a reta AE é dada em posição[70].

8) E o círculo ABC é dado em posição; portanto, o ponto B é também
dado
[71].

9) Mas os pontos D e E são dados; portanto, as retas DB e BE são
também dadas em posição
[72].

Síntese:

I) Construção:

1) Suponhamos dados o círculo ABC e os pontos D e E[73].

2) Tomemos um retângulo contido por ED e por uma certa reta EF, igual
ao

quadrado sobre a tangente ao círculo a partir de E[74].

3) A partir de F, tracemos FA tangenciando o círculo em A[75].

4) Tracemos ABE e depois DB, prolongando DB de modo a encontrar o
círculo em C
[76].

5) Tracemos AC.

6) Digo, então, que AC é paralelo a DE.

II) Demonstração:

1) Desde que, por hipótese, o retângulo FE, ED é igual ao quadrado
sobre a tangente a partir de E, o qual, por sua vez, é igual ao retângulo AE,
EB, o retângulo AE, EB é igual ao retângulo FE, ED
[77].

2) Portanto, A, B, D e F estão sobre o mesmo círculo, donde o ângulo
FAE é igual ao ângulo BDE
[78].

3) Mas o ângulo FAE é igual ao ângulo ACB no segmento alterno[79].

4) Portanto, o ângulo ACB é igual ao ângulo BDE.

5) Portanto, AC é paralelo a DE[80].

 

Após
a exposição desse exemplo
ilustrativo do procedimento
analítico-sintético, algumas observações devem ser feitas para ratificar e
complementar o que foi dito anteriormente. Um primeiro conjunto de comentários
diz respeito à determinação da entidade básica em meio à qual o método se
instala e evidencia suas características. Ainda que se aplique tanto a teoremas
quanto a problemas geométricos, poder-se-ia dizer, entretanto, que o método diz
respeito a problemas (entendidos em um sentido amplo, incluindo, portanto, os
problemas e os teoremas, em seu sentido técnico), ou mesmo a questões, a
“dificuldades”, como diria Descartes. Nesse sentido, o método começa a se
configurar a partir das características dessa entidade básica, do que ela tem
de peculiar em oposição a outras formas de investigação científica, como a que
prioriza a relação e a subordinação entre proposições.

Em
outras palavras, o método de análise e síntese é um método de resolução de
problemas (em geral). A atividade de resolução de problemas não pretende examinar
uma proposição, relacioná-la a outras ou deduzi-la de verdades já conhecidas.
Mesmo no caso de um teorema, onde se procura demonstrar sua verdade (de uma
proposição, portanto), sua prova não é derivada de proposições anteriores, mas
é inventada no interior da configuração examinada. A prova é descoberta no interior do problema e não em subordinação a algo exterior, sendo que axiomas e
teoremas são chamados (por vezes, mesmo, descobertos)[81] em função desse exame interno[82].
Assim, por exemplo, o teorema que diz que a soma dos ângulos internos de todo
triângulo é igual a dois ângulos retos (Prop. 32, Livro I dos Elementos)
é provado por Euclides (HEATH, 1952, p. 19-20), não por dedução a partir de
teoremas ou axiomas já dados, mas no exame feito sobre um triângulo qualquer[83].
A prova do teorema não deriva da sua dedução a partir de outras proposições já
conhecidas: ela é descoberta no interior dos (ou em meio aos) elementos
fornecidos pelo problema (ampliado por meio de elementos adicionais). O exemplo
acima apresentado mostra igualmente que o geômetra age sobre a configuração dada
(uma complexidade de objetos inter-relacionados), a manipula, acrescenta dados,
estabelece relações, de modo que tais operações proporcionem a resolução do
problema. Além disso, a utilização de construções auxiliares denuncia a
não-trivialidade do método, a necessidade de introduzir novos objetos
geométricos, a possibilidade de enriquecer o problema inicial e de estabelecer
relações para além dos objeto imediatamente dados. Assim, o método não é nem
“proposicional”, nem linear, nem mecânico: ao invés de estabelecer relações
proposicionais, garantidas por um aparato lógico, ele estabelece relações entre
objetos no interior do problema examinado; ao invés de ser linear, ele não tem
direção alguma, podendo proceder de ou incidir sobre qualquer parte da figura;
ao invés de ser mecânico, ele é criativo, inventivo, mas também, em parte,
imprevisível quanto a seus resultados.

Resolver
um problema é, pois, examinar a configuração inicial, compreender as relações
que ela esconde, construir outras e preencher o que falta, a partir do que é
proposto. O método analítico é uma análise da complexidade dada em forma de
problema, complexidade essa aberta ao exterior, mas não subordinada a ele. Isso
evidencia, primeiramente, que o problema é uma entidade relativamente
auto-suficiente (ainda que imerso a um conjunto de problemas mais amplo), cuja
estrutura e dinamicidade interna possibilita o gerenciamento do método. Um
problema (lembremos sempre, em seu sentido genérico) apresenta uma determinada
estrutura constante e pede que se faça algo ou que se determine algo a partir
do que é dado. Essa estrutura característica é denunciada em toda proposição
enunciada. Toda enunciação é composta de duas partes: o que é dado (dedomena)
e o que é procurado (zetoumenon), as quais devem estar relacionadas de
alguma maneira (às vezes, elas precisam ser delimitadas por meio de uma
condição, um diorismos), para que o problema seja bem-construído e
passível de solução.

Todo
problema, portanto, é composto de “dados” ou de elementos conhecidos e do que é
“procurado” ou desconhecido. Pertencentes a um problema, esses elementos
não se encontram desvinculados, mas estão ou devem estar relacionados, de modo
que uns podem ser determinados pelos outros. A resolução do problema consiste
na determinação dos desconhecidos a partir dos conhecidos. Entretanto, o método
de análise (mais exatamente, sua etapa analítica) não procede conforme essa
direção “natural” (do conhecido para o desconhecido). Ela faz a pressuposição
de que o problema esteja resolvido. Assim, pode pressupor que todos os
elementos necessários à sua resolução estejam dados, bem como pode proceder de
forma indiscriminada, seja a partir do fim procurado, seja do que realmente é
dado. Dessa maneira, se a etapa analítica não estabelece uma ordem – pois, não
havendo objetos privilegiados no interior da configuração, não precisa seguir
um sentido privilegiado –, por outro lado, por fazer uso constante do fim
desejado (do desconhecido), ela é dita proceder de trás para frente. Como foi
mostrado no exemplo exposto, entretanto, não é toda a etapa analítica que
procede para trás, mas somente a análise própria, na medida em que seus
passos pressupõem o procurado (zetoumenon). Nesses termos, essa parte da
etapa analítica é sempre problemática ou hipotética, pois repousa sobre a
pressuposição de que a configuração está completa e que se pode percorrer o
caminho de um extremo ao outro, sem problemas. Além disso, ela não se constitui
efetivamente em um movimento contrário ao da corrente (ainda que ofereça
resistência a ela e, de alguma forma, pode ser dita remontá-la), uma vez que,
se ela não tem propriamente direção, sua direção não será tampouco a da contramão.
Ela é dita proceder para trás porque utiliza o fim, como um dos elementos
dados, juntamente com os “dados”, que são realmente dados. De sua parte, a resolução não pode basear nenhum de seus passos no desconhecido. Ela mostra que o que foi
apresentado na parte anterior pode ser derivado exclusivamente dos dados, mesmo
que não determine efetivamente tais objetos, como fará a construção[84].
Com isso, a etapa analítica não soluciona o problema, mas apresenta os
elementos que o analista pensa serem suficientes para tal e mostra que tais
elementos decorrem do que é dado.

Por
sua vez, na etapa sintética, a construção dá existência e determinação a
todos os objetos referidos anteriormente. Para tal, ela altera algumas relações
estabelecidas na resolução, como, por exemplo, no caso apresentado, a
que diz respeito aos retângulos AE, EB e FE, ED. Na construção, é o retângulo FE, ED (e não o retângulo AE, EB) que é construído a partir do quadrado sobre a tangente ao círculo a
partir de E, de onde se seguem todos os outros passos. A construção não é, entretanto, o contrário da resolução: a primeira estabelece
relações, as quais permanecem indeterminadas (pois o retângulo AE, EB pode ser qualquer reta que corte o círculo a partir de E,
permanecendo, portanto, os pontos A e B indeterminados), enquanto
a segunda efetivamente constrói tais objetos. Por fim, a demonstração prova que os elementos dados solucionam o problema. Ela é o contraponto da análise
própria
e inverte todos os passos que, nessa parte, se basearam no fim
desejado. Assim, a síntese ordena os passos em sua “ordem natural” e mostra que
o que foi originalmente dado determina o procurado. Desse modo, ela complementa
a etapa analítica e confirma que o método é, na verdade, composto por dois
momentos, tratando-se, portanto, de um método de análise-e-síntese.

Cabe
observar, por fim, que, para os geômetras gregos, os termos “análise” e
“síntese” são usados exclusivamente no sentido acima descrito. Eles não
utilizam o conceito de síntese para significar a exposição sistemática e
ordenada de conhecimentos, caracterizada pela utilização de definições, axiomas
e postulados, seguidos pelas demonstrações de proposições (teoremas e
problemas). Dessa forma, os Elementos de Euclides são sintéticos, não
porque têm uma estrutura axiomática, mas porque conservam somente a segunda
etapa do método de análise-e-síntese, ao contrário do que ocorrerá, no século
XVII[85],
quando a síntese passa a significar, para muitos pensadores, um método
independente, caracterizado como procedimento de exposição e de prova (por
vezes, também de descoberta) de um conjunto de proposições, cujo modelo
paradigmático são esses mesmos Elementos[86].

Logo,
o conceito de síntese, para os geômetras, não possui essa ambigüidade que o
acometerá mais tarde. Scholz, por exemplo, tratando da axiomática dos antigos –
e, para tal, se reporta basicamente aos Segundos analíticos de Aristóteles
–, em nenhuma ocasião estabelece qualquer tipo de relação entre esse tema e o
conceito de síntese dos geômetras, ainda que reconheça que os gregos, com a
matemática, “produziram não apenas o primeiro paradigma de uma ciência rigorosa
no sentido ocidental, como também a primeira descrição de tal ciência” (SCHOLZ,
1980, p. 5). A axiomática aristotélica pode muito bem ser ilustrada pelos Elementos de Euclides, mas não se pode simplesmente equiparar as duas características
dessa última obra: a de ser modelo de uma ciência axiomática e a de empregar
exclusivamente o procedimento sintético em detrimento do analítico. O
procedimento sintético não se vincula necessariamente a esse modelo axiomático,
ainda que um pareça clamar pelo outro.

1.2 A álgebra dos modernos

A
“álgebra dos modernos” é mencionada, juntamente com a análise dos antigos, como
a segunda disciplina que contribuiu para a formação da metodologia cartesiana.
Nas Regras, Descartes cita nominalmente Diofanto, precursor daquela ciência
nascente, lado a lado com Pappus, reconhecendo a existência de algum vínculo
entre os procedimentos heurísticos da geometria e aqueles apresentados pela
ciência dos números, já em sua fase embrionária. Mais do que isso, nessa mesma
obra, Descartes filia a álgebra moderna à geometria antiga, quando afirma
explicitamente que a primeira atua sobre os números, da mesma forma que a análise
geométrica procede em relação às figuras e, desse modo, admite que o campo de abrangência
do método de análise tem se estendido para além das fronteiras da geometria[87].
Desse modo, não se pode deixar de avaliar os méritos e as “novidades”
metodológicos dessa nova disciplina, ainda que ela, segundo o autor, não
apresente um novo procedimento metodológico, mas somente o aperfeiçoa e dinamiza
suas potencialidades, além de livrá-lo de algumas limitações (como aquela
ligada à presença de “inexplicáveis figuras” (X, 377,6-7))[88].

Essa idéia de
“comunhão” metodológica entre as duas ciências não é um reconhecimento exclusivamente
cartesiano. Viète, tido geralmente como o “fundador” da álgebra, se apresenta
como continuador da tradição dos praticantes do método de análise, cujos
expoentes não são somente Pappus e outros geômetras como Apolônio, mas também o
“quase-algebrista” Diofanto. Dentro desse contexto, na tentativa de examinar a
contribuição trazida pela álgebra ao método de análise, serão examinadas abaixo
algumas características da obra de Diofanto e de Viète. Uma vez que esta ciência
não apresenta um novo método, mas somente vem acrescentar algo a um outro já
existente e “aperfeiçoar” algumas de suas características, é possível
selecionar os itens mais importantes para o presente objetivo, sem ser necessário
apresentar o complexo desenvolvimento dessa ciência, desde os gregos (e
hindus), passando pelos árabes, até os tempos modernos. Nesse sentido, os nomes
de Diofanto e de Viète parecem pertinentes ao propósito, primeiramente porque
Diofanto é citado por Descartes e sua obra examinada detalhadamente por Viète[89],
mas também porque este último escreve um livro exatamente sobre a “arte
analítica” algébrica e explicitamente inclui sua obra matemática dentro da
tradição analítica dos gregos.

Os Aritméticos de Diofanto[90] tratam basicamente de
problemas “calculacionais” ou “aritmético-algébricos”, determinados e
indeterminados, que conduzem a equações de primeiro e de segundo graus. Tais
problemas são resolvidos por meio de técnicas particulares, cuja tentativa de
sistematização e generalização é praticamente inexistente. Sua característica
talvez mais marcante é seu caráter “quase-algébrico”, denunciado pela presença
e pela utilização das noções de quantidade desconhecida e de “equação”,
antecipando o modo de agir dos algebristas modernos (e o dos nossos
estudantes). Diofanto, contudo, ao contrário de seus “sucessores”, faz uso de
somente uma única “incógnita”, independentemente da quantidade de números
desconhecidos que se deva determinar, designada de uma forma abstrata pelo nome
de “número” (arithmós)[91]. De forma semelhante, a
noção de equação não é claramente formulada, mas já aparece a idéia de que as
expressões (equações) devem ser comparadas umas às outras e seus elementos
componentes manipulados, segundo regras estabelecidas, com o objetivo de
reduzir à sua forma mais simples[92].

Para
o presente estudo, mais importante que outras características da obra, tais
como sua independência em relação à geometria (contrariamente aos livros aritméticos
dos Elementos de Euclides), apesar da conservação de alguns termos geométricos,
bem como a elevação dessa “arte dos números” ao nível da epistéme, é
exatamente o seu caráter “analítico”, proveniente da importância atribuída,
como se disse acima, ao elemento desconhecido e à noção de “equação”, enquanto
expressão da relação entre o que é dado e o que é preciso determinar (e,
portanto, expressão do lugar que ocupa o desconhecido ao lado do que é
conhecido), de tal forma que a presença, o uso e a manipulação da incógnita, ao
longo do procedimento de resolução de um problema, adquirem importância
fundamental, a exemplo do zetoumenon, na geometria. Os Aritméticos de Diofanto têm um “espírito” muito mais “algébrico” do que se fossem
considerados em função do conjunto de abreviações aí utilizado e como
“antecipação” do simbolismo moderno: a obra de Diofanto mostra seu
caráter
algébrico exatamente por ser analítica e, assim, antecipa o caráter analítico
da futura álgebra. Como diz KLEIN (1992, p. 156; destaques no original),

é, depois de tudo, particularmente
característico do procedimento diofantino operar com o
quaesitum,
a saber, com o número procurado em cada caso,
como algo já dado ou
‘concedido’ (concessum). Construir uma
equação significa nada mais que
colocar as condições de um problema sob uma forma que nos capacite ignorar se
as magnitudes que ocorrem no problema são “conhecidas” ou “desconhecidas”. As
conseqüências (consequentia) a serem extraídas de uma tal equação, isto é, suas
etapas de transformação em uma forma canônica (sua forma padrão, como
diríamos), finalmente conduzem, por meio do cálculo, à determinação do número
procurado, isto é, do número “verdadeiro”, o qual é somente então, no fim,
“concedido” (verum concessum).

É
exatamente
a percepção desse fato que fez o algebrista Viète
se considerar um analista, por ocasião da elaboração de sua obra. Nesse sentido,
esse autor e Descartes avaliam o método de análise e sua posterior extensão ou
reelaboração, no horizonte matemático, de forma bastante semelhante. Mas, antes
do exame do pensamento de Viète, segue um exemplo, dentre os mais simples, de
um problema (Livro I, Prob. 4) da obra de Diofanto (VER EECKE, 1959, p. 11) e
de sua forma de resolução. Ei-lo:

Encontrar dois
números em uma dada proporção, tal que seu excedente seja também dado.

Proponhamos
que o maior número seja o quíntuplo do menor e que o excedente desses números
forme 20 unidades.

Coloquemos que o menor número seja 1
aritmo; assim, o maior será 5 aritmos. Desejamos finalmente que 5 aritmos
excedam 1 aritmo em 20 unidades. Ora, seu excedente é 4 aritmos, os quais
deverão ser iguais a 20 unidades. Desde então, o menor número será 5 unidades e
o maior 25 unidades, o que determina que o maior número é o quíntuplo do menor,
e que a diferença entre eles forma 20 unidades.

O
problema estabelece as seguintes relações: X=mY e X-Y=a. A
solução considera as seguintes equações: i) X=5Y e ii) X-Y=20. Disso
se segue que, sendo Y=x (isto é, igual a um aritmo), então, X=5x e 5x-x=20, ou seja, 4x=20. Logo, x=5. Portanto, Y=5 e X=25[93].

O
procedimento diofantino é um pouco diferente do da álgebra posterior e do nosso
modo de resolver um problema desse gênero. A diferença básica consiste no fato
de que, sendo os dois números procurados (X e Y) dois números
determinados e únicos, eles não podem, para o autor, ser considerados
desconhecidos, mais igualados ao desconhecido (e a seus múltiplos). Na
realidade, os números a serem determinados não são verdadeiras variáveis, mas
constantes ainda desconhecidas. Assim, por um lado, apesar do caráter algébrico
do pensamento de Diofanto, percebe-se claramente a falta de generalidade no
tratamento dos seus problemas. Como diz BOYER (1976, p. 223), a matemática
diofantina é uma “coleção de truques”, antes que uma “forma de raciocínio”. Não
se pode deixar de assinalar, por outro lado, sob o ponto de vista metodológico,
a forma analítica de resolução de seus problemas: um problema apresenta uma
configuração (no caso, “algébrica”) que possibilita estabelecer relações entre
os dados e o que se procura determinar, de forma que a manipulação de tais
relações nos conduz à sua solução. Além disso, percebe-se a função fundamental
que desempenha o desconhecido, uma vez que ele precisa também ser “dado”, mesmo
que sua quantidade não esteja determinada. Como tal, a exemplo do que ocorre
com os geômetras e é característico do método de análise, o procedimento
diofantino assume como sua pressuposição fundamental, como também o fará a
álgebra posterior, que o problema esteja resolvido, mas de uma forma até mais
“natural” que a geometria – e, talvez, por isso, não dito explicitamente –,
como se percebe pela própria estrutura de uma equação ou “essência” do que seja
uma equação[94].

É
por isso que Viète intitula sua álgebra de “arte analítica” (ars analytice)
e, por meio dessa identificação, pretende mostrar que, no fundo, não há
diferença entre os procedimentos metodológicos empregados na resolução de
problemas geométricos e aqueles empregados na resolução dos problemas
algébricos. Viète é certamente o primeiro matemático do ocidente que, como diz
WAERDEN (1985, p. 63), põe como seu objeto de estudo “recuperar o método de
análise apresentado por Pappus em sua grande Coleção e combiná-lo com o
método de Diofanto”, de sorte que os problemas matemáticos podem ser
“representados” tanto em número quanto em linhas. Já não é tão importante fazer
geometria ou aritmética, mas apresentar uma arte geral de resolver problemas matemáticos,
uma vez que as matemáticas parecem atuar ou raciocinar da mesma maneira, seja
sobre números, seja sobre figuras. As ciências matemáticas apresentam,
independentemente de seus objetos, uma “racionalidade inventivo-resolutiva”
comum e eficiente para qualquer tipo de problema que lhes pertença[95].
Apresentar essa “arte analítica” é a intenção central do autor, expressa na
pequena mas fundamental obra Introdução à arte analítica (VIÈTE, 1970,
p. 1-12)[96], de tal maneira que o
método aí apresentado (e recuperada dos antigos) não dê conta somente deste ou
daquele problema, mas do “problema dos problemas”, qual seja, daquele que
consiste em “não deixar nenhum problema sem solução”[97].

Dentro
dessa perspectiva, as duas principais características da “arte analítica” de
Viète estão em consonância e em continuidade com o pensamento de Pappus e o de
Diofanto. A primeira diz respeito à exploração da relação entre as quantidades
conhecidas e as desconhecidas no interior de um problema matemático. Surge, com
clareza e força, a noção de equação, mas, antes disso, a idéia de que os
objetos matemáticos, no interior de uma configuração sob investigação, mantêm
relações estritas que devam ser determinadas ou estabelecidas, haja vista que é
desse modo que se resolvem problemas matemáticos, ou melhor, é desse modo que
devem ser entendidos os problemas matemáticos[98]. Não é a idéia de
equação que nasce simplesmente, mas primeiramente a de que todo problema
implica a construção de uma equação, entendida como uma ligação ou
comparação (comparatio)[99] entre uma magnitude
desconhecida e outra conhecida[100]. Nesse sentido, esse
autor introdução, pela primeira vez, a clara distinção entre as grandezas dadas
ou conhecidas (representadas pelas consoantes do alfabeto, como B, C, D, F, G) e as desconhecidas (representadas pelas vogais,
como A, E, I)[101], ainda que seus
procedimentos permaneçam bastante inoperantes em função da inexistência de
alguns símbolos para as operações entre as grandezas, bem como em função da
“lei da homogeneidade” que elabora[102]. Com isso, Viète dá
nascimento à álgebra em seu pleno sentido, na medida em que diz operar com
“espécies” (species) e não mais com números: nasce, assim, a “logistice
speciosa
” em contraposição à “logistice numerosa” de Diofanto[103].
Cresce, portanto, a partir de então, cada vez mais a noção de generalidade do
cálculo e a de matemática simbólico-abstrata[104].

A
segunda característica da obra de Viète diz respeito à recuperação e à reavaliação
da estrutura do método de análise dos geômetras. No início da obra supracitada
(em seu capítulo primeiro), esse autor apresenta a definição de análise e suas
duas espécies, bem como a definição de síntese, conforme apresentadas por Pappus[105].
Em seguida, entretanto, acrescenta uma terceira espécie, da forma como ele
mesmo a concebe e sem haver um tipo paralelo ou precedente na história do método[106].
No caso das duas primeiras, Viète utiliza as expressões que parecem qualificar
a função ou apresentar a característica de cada uma delas, ao invés de empregar
os termos que o próprio Pappus emprega para nomeá-los. Assim, ao lado da que
ele mesmo inventa, a análise rética ou exegética, Viète chama
respectivamente de análise zetética e de análise porística o que
Pappus intitula análise teorética e análise problemática, mas de modo que o
que, para este último, diz respeito a uma oposição de entidades (teoremas e
problemas), para o primeiro, passa a ser uma distinção de funções exercidas por
etapas complementares de um mesmo método.

Nesse
sentido, a análise zetética tem o objetivo de encontrar, não a verdade de uma
proposição (a prova de um teorema), como em Pappus (análise teorética), mas a
equação ou a razão entre as grandezas dadas e as desconhecidas. Ela corresponde
à montagem ou construção da equação, à colocação dos elementos em forma de
equação, de maneira que as várias relações que o problema apresenta são
reduzidas a uma expressão de igualdade. Em outras palavras, ela é o
procedimento responsável por transformar o problema dado em uma equação algébrica
entre quantidades conhecidas e desconhecidas. Por sua vez, a análise porística
tem como tarefa examinar e confirmar, não a construção que satisfaz as
condições do problema, como em Pappus (análise problemática), mas a validade da
equação determinada pela análise zetética. Isto é, a análise porística examina
a verdade do teorema expresso pela equação Por fim, a análise rética ou exegética
dá conta da derivação ou exibição do número ou da construção da linha que
resolve o problema e, como tal, corresponde à resolução da equação.

Não
é tarefa fácil precisar o papel de cada uma das espécies de análise, apontadas
por Viète. Seja como for, esse autor não está opondo diferentes tipos de
procedimentos, mas estabelecendo-os como complementares, dentro de um procedimento
algébrico único de resolução de problemas[107]. Não é preciso ir além
disso, contudo, para os propósitos desse estudo. É suficiente salientar o papel
de Viète, a partir das características apontadas acima, como seguidor de Pappus
e de Diofanto e como unificador, por meio de sua “arte analítica”, do que até então
eram dois procedimentos separados e tidos como distintos. E, nesse caso
específico, ele pode ser posto numa perspectiva que se aproxima da de
Descartes: ambos se põem como pertencentes à tradição metodológica dos matemáticos
antigos, como praticantes e como reelaboradores do método de análise, estendido
agora para as diversas disciplinas matemáticas.


CAPÍTULO II

O MÉTODO DE DESCARTES: UMA ILUSTRAÇÃO

Como primeiro passo na tentativa de
compreender a metodologia cartesiana, mostrar sua estrutura analítica (ou
analítico-sintética) e ilustrar sua atuação, será examinado abaixo o famoso
“problema de Pappus”, exposto por Descartes na Geometria
[108]. Propositadamente, foi escolhida uma ilustração extraída de um dentre os três
tratados que seguem o Discurso, os quais são considerados por Descartes
como “ensaios” do método
[109]. Além disso, sendo um problema matemático, o
problema de Pappus possibilita uma melhor comparação com o método de análise
dos gregos (e algebristas) e serve, pois, adequadamente como “meio de ligação”
entre este último e a metodologia cartesiana em geral.

A Geometria é uma obra ilustrativa da metodologia
cartesiana. Apesar da inexistência de referências nominais ao método de análise
dos gregos e de indicações explícitas às regras metodológicas do Discurso e das Regras, sua simples consideração como um “ensaio” do método, entre
outros, equivale a lhe atribuir um estatuto metodológico definido. Na verdade,
Descartes vê essa obra como uma autêntica ilustração de seu método.
Primeiramente, por que, como diz o Discurso, Descartes estava à procura
do “verdadeiro emprego” das matemáticas (VI, 7, 26), tendo encontrado “alguns
vestígios” (X, 376, 21) em meio a essas ciências já constituídas[110].
A matemática, não há dúvida, é uma disciplina privilegiada para o autor, pois,
mesmo mal cultivada, tem produzido bons frutos e se constituído em um manifesto
em favor dos poderes da razão. Nessa perspectiva, são abundantes as referências
(desde as Regras) quanto ao papel especial que essa ciência desempenha
dentro da reflexão metodológica do filósofo. No que diz respeito especificamente
à obra aqui examinada, além das relações estritas que, em geral, se estabelecem
entre ela e outras obras (por exemplo, entre ela e a Segunda Parte do Discurso e entre ela e a parte final das Regras), Descartes, em pelo menos
uma ocasião, qualificou-a como o melhor resultado do método e como prova de sua
validade. É o que ele afirma em uma carta a Mersenne, em fins de dezembro de
1637: “eu somente me propus pela Dióptrica e pelos Meteoros a
persuadir que meu método é melhor que o ordinário, mas eu pretendo tê-lo
demonstrado por minha Geometria” (I, 478, 8-11). Não faltarão indícios
em favor dessa perspectiva de que a Geometria é um legítimo “ensaio
metodológico” e que o problema de Pappus é uma ilustração do método de análise
de Descartes.

2.1 O método enquanto arte de resolver problemas

Antes do exame propriamente dito do problema
de Pappus, é necessário considerar as reflexões feitas sobre o método utilizado
por Descartes, por ocasião da resolução dos problemas geométricos em geral. O
Livro I da Geometria apresenta, nas seções intituladas “Como é preciso
chegar às equações que servem à resolução dos problemas” e “Como eles [os
problemas planos, no caso] são resolvidos”, as duas etapas desse método
[111]. Essas são as seções da obra certamente as mais importantes
sob o ponto de vista da exposição e da descrição do procedimento empregado por
Descartes. A primeira seção apresenta a primeira etapa do método, cujo principal
objetivo consiste em equacionar o problema, por meio fundamentalmente de recursos
algébricos, de tal forma que a “dificuldade” que ele contém possa ser reconduzida
e reduzida à mais simples estrutura ou expressão algébrica, isto é, a uma
equação da forma mais simples possível. A segunda seção apresenta sua segunda
etapa (na realidade, um de suas partes, a “construção”, já que nos casos apresentados
a “demonstração” não é dada), cujo objetivo central é resolver a equação, isto
é, construir a raiz (ou raízes) da equação e prová-la(s). Este método, em seu
conjunto, será chamado de método de análise ou método de análise-e-síntese
(análise e síntese, sendo as duas etapas respectivas), apesar de não ser, na
obra, nomeado como tal[112].
As razões para essa nomeação serão discutidas mais adiante
[113].

A descrição que Descartes fornece da primeira etapa, a
análise (A), pode ser dividida em vários passos. Em um primeiro momento (A1), o
geômetra, se deseja resolver um problema, deve supô-lo como já resolvido, antes
de começar efetivamente a resolvê-lo
[114]. Este procedimento, típico da análise praticada pelos
geômetras gregos e que possibilita considerar o procurado ou desconhecido como
se fosse dado ou conhecido, tem conseqüências metodológicas importantes, como
já se viu. Por meio dele, é possível, em primeiro lugar, considerar a
configuração do problema como completa ou tão completa quanto permite a
consideração de todos os elementos que ele fornece
[115]. Além disso, ao contrário do procedimento (mais
“natural”)
[116], que parte dos verdadeiros dados do problema
(juntamente com tudo o que já é conhecido) e deles pretende deduzir o
desconhecido, a análise, por meio desse recurso, desfaz a diferença entre estes
dois tipos de entidades por não se “preocupar”, durante o cálculo, com o
estatuto cognitivo distinto de cada um
[117]. Isto não significa desfazer toda diferença entre eles,
mas colocá-los em nível de igualdade operatória, por ocasião do exame das relações
que os objetos mantêm entre si dentro da configuração dada. Deste modo, a
resolução do problema deixa de ter uma direção e um sentido determinados (muito
menos ainda do que poder-se-ia aventar na geometria antiga), pois não se trata
de ir do desconhecido ao conhecido nem vice-versa, mas de examinar a
configuração dada e de estabelecer relações entre os objetos componentes, até
preencher o “vácuo” existente entre os dois tipos de entidades[118].
O objetivo final é, evidentemente, uma vez o problema resolvido, a determinação
do procurado pelos dados, como em qualquer outro método. O segundo passo da análise
(A2) consiste em atribuir nomes às linhas
[119] necessárias para resolver o problema, tanto conhecidas
quanto desconhecidas, conforme a explicação fornecida na seção anterior
intitulada “Como podemos utilizar símbolos (chiffres) na geometria”
(371, 4-372, 9). Descartes introduz, nesta seção, sua simbolização (utilizada
ainda hoje com pequenas modificações): as primeiras letras do alfabeto para as
grandezas conhecidas (a, b, c, etc.) e as últimas para as
grandezas desconhecidas (x, y, z, etc.), bem como símbolos
para as operações aritméticas (a igualdade, a soma, a subtração, a
multiplicação, a divisão e a extração de raízes) e para os expoentes das
grandezas (por exemplo, xx ou , zzz para ,
etc.).

Estes dois procedimentos (A1 e A2) possibilitam, ao
mesmo tempo, manter distintas, clara e visualmente (em qualquer momento do
cálculo), as grandezas conhecidas e as desconhecidas, mas também desconsiderar
a distinção cognitiva entre ambas. A conclusão é que a distinção entre tais
grandezas é considerada e desconsiderada ao mesmo tempo, sob diferentes
aspectos: considerada, pois a simbolismo permite mantê-las distintas e porque o
problema consiste exatamente em determinar as grandezas desconhecidas
[120] (e, assim, a equação deve expressar as desconhecidas em
função das conhecidas); desconsiderada, pois todas as grandezas indistintamente
são “dadas”, ainda que algumas não são determinadas. Além disso, a introdução
das operações algébricas (que se segue à designação simbólica) facilita e dá
novo dinamismo ao procedimento da análise
[121]. Ela possibilita não somente a simplificação e a maior
generalidade ao cálculo geométrico (bem como a perfeita distinção de seus
objetos e operações, como já foi dito), mas sobretudo dá mobilidade e agilidade
ao cálculo. Ao mesmo tempo em que todas as grandezas (conhecidas e
desconhecidas) são postas lado a lado, se submetem às mesmas operações e podem
ser determinadas (numa equação) umas a partir de outras, elas permanecem total
e claramente distintas a partir da simbolização cartesiana, mas também
facilmente manipuláveis, sem a necessidade da consulta constante à figura e de
tê-la sob os olhos a todo o tempo. Neste sentido, o que consistia no início em
uma espécie de economia e de simplificação gráfica, bem como em um mecanismo de
auxílio à fraqueza da memória, torna-se um instrumento fecundo e potente de
manipulação dos objetos matemáticos, mas também de generalização e de simplificação
dos problemas geométricos[122].
Como decorrência disso, também a figura perderá, em parte, sua importância
enquanto suporte do cálculo, pois a configuração algébrica é, principalmente à
medida que os problemas crescem em complexidade, mais rica e mais geral que a
configuração geométrica, bem como auto-suficiente. Dessa forma, diz Descartes,
“freqüentemente não temos necessidade de traçar, assim, tais linhas sobre o
papel, mas é suficiente designá-las por algumas letras, cada uma por uma só”
(371, 4-7)[123].

O terceiro momento da análise (A3) consiste em, não
considerando nenhuma diferença entre as linhas conhecidas e as desconhecidas
(procedimento decorrente da etapa precedente, por considerar o problema como
resolvido), examinar o problema (a “dificuldade”) segundo a ordem que mostra,
da maneira mais “natural”, a dependência mútua entre elas, até chegar a
expressar uma mesma grandeza em forma de equação
[124]. As equações, expressão desta dependência entre os
objetos conhecidos e desconhecidos, devem corresponder em número às linhas
desconhecidas; ou então, se o número de linhas é maior e nada é omitido no
exame da questão, o problema não é inteiramente determinado: neste caso,
deve-se tomar uma linha conhecida qualquer no lugar de cada linha desconhecida
à qual não corresponde nenhuma equação
[125].

Esta terceira etapa consiste fundamentalmente na análise
do problema e na expressão das relações de dependência entre os diversos
objetos do problema. O objetivo é expressar cada objeto desconhecido em função,
se possível, somente dos conhecidos ou do menor número de outros desconhecidos;
e, assim, a cada um deles corresponderá uma equação. Descartes fala que se deve
percorrer a dificuldade ordenadamente, de modo que se mostre o mais
naturalmente possível a dependência (a equação) de cada objeto desconhecido. A
existência de uma “ordem mais natural” parece ter em conta as várias
possibilidades de formular as equações e de escolher as “linhas principais”[126].
Na verdade, há uma certa liberdade (ou arbitrariedade) na escolha das
“coordenadas” e, dependendo desta escolha, o cálculo pode ser mais longo ou
mais curto, mais “truncado” ou não. Isto não significa que se altere a natureza
da dificuldade, mas somente mostra que há caminhos diferentes para sua
resolução[127].
Além disso, a ordem faz com que o geômetra “não omita nada do que, na questão,
é desejado” (372, 25-26) e, ao fazer isso, ela torna evidente as relações entre
os vários objetos da configuração. A ordem garante, assim, o exame completo da
configuração, a percepção da dependência entre seus componentes em função do problema
colocado e a escolha mais conveniente de exprimi-la[128].

O quarto e último passo da análise (A4) consiste em
reconduzir ou reduzir todas as equações, oriundas em função de cada uma das
linhas desconhecidas, a uma única, e que esta equação tenha a forma a mais
simples possível
[129]. A etapa anterior dá como resultado um certo número de
equações, correspondente ao número de linhas desconhecidas. Se este número for
maior que um, deve-se examinar por ordem cada uma destas equações, seja
isoladamente seja em seu conjunto, até que seja possível, por um processo de
comparação, substituição e simplificação, reduzi-las a uma única[130],
que pode ser mais ou menos complexa (primeiro grau, segundo grau, etc.), mas
que deve ser a mais simples possível dentro da configuração dada e enquanto
representante da dificuldade que se pretende resolver. Tal é a ordem que se
deva seguir a fim de explicar cada uma das linhas desconhecidas. Tanto esta
etapa quanto a anterior consistem, pois, na manipulação dos objetos conhecidos
e desconhecidos com o objetivo de estabelecer relações (dependências) entre
elas, cuja expressão são
as equações, as
quais, por sua vez, devem ser manipuladas e simplificadas até que se obtenha os
“mais simples termos aos quais a questão possa ser reduzida” (374, 17-19).

 

 

 

Estrutura do método de análise

 

1) Exposição do problema:

– Enunciação do problema.

– Apresentação do que é dado e do que se procura
determinar.

2) Análise:

2.1) Suposição de que o problema esteja resolvido.

2.2) Atribuição de nomes aos objetos (linhas): x, y, a, b

2.3) Exame das relações entre os elementos do problema,
com o objetivo de

determinar uma equação para cada desconhecido.

2.4) Redução de todas as equações a uma única e que seja
a mais simples

possível.

3) Síntese:

3.1) Construção:

– Exame da equação resultante da análise.

– Construção da raiz ou resolução da equação.

3.2) Demonstração:

– Prova de que a construção satisfaz as condições
do problema.

4) Resolução completa do problema:

– Todos os seus elementos estão efetivamente dados e o
problema resolvido.

– A complexidade é “completamente” compreendida.

 

 

Uma vez reduzida a dificuldade do problema à sua
expressão (equação) mais simples, a análise tem cumprido sua tarefa e, assim,
dá lugar à síntese, etapa complementar. A síntese se compõe normalmente de duas
etapas, a construção geométrica (S1) e a demonstração ou prova (S2). Entretanto,
na seção “Como eles são resolvidos” (374, 28-376, 28), Descartes fornece
somente a construção, certamente por tratar-se de simples exemplos pertencentes
à geometria ordinária, largamente desenvolvida desde os gregos e, portanto,
tida como não-problemática (são aqueles problemas chamados de problemas planos,
por poderem ser resolvidos através de linhas retas e círculos, isto é, por meio
de régua e compasso, traçados sobre um plano). Neste caso, após as equações
terem sido reduzidas a uma única, restará no máximo uma equação de segundo grau
com uma incógnita
[131].

 

 

descartes

Análise[132]:

A1) …

A2) …

A3) …

A4) z²=az+b².

 

Síntese:

S1) Construção:

a) Construamos um triângulo-retângulo NLM e um círculo PLO,
com centro em N.

b) Façamos ML= b, LN(=NP=ON)=½a (isto é, OP=a) e OM=z,
a linha desconhecida.

c) Podemos afirmar que z=½a+Ö(¼a²+b²).

S2) Demonstração:
(Descartes não a fornece, mas ela pode ser facilmente elaborada).

a) Na figura, temos (ML)²=OM.MP [cf. Elem. III, 36].

Então, b²=z(z-a), ou seja, z²=az+b².

b) Por outro lado, temos OM=ON+NM.

Isto é, z=½a+Ö(¼a²+b²), onde NM=Ö(¼a²+b²), pelo teorema de Pitágoras [cf. Elem. I, 47].

c) Portanto, sendo a e b conhecidas, a figura acima
determina a linha desconhecida z.

 

 

 

Assim, nesta seção, Descartes mostra como solucionar as
equações de segundo grau com uma incógnita (problemas planos), mas um
procedimento semelhante será fornecido para problemas mais complexos. Tendo
obtido uma equação, Descartes mostra como construir “facilmente” sua raiz (ou
linha desconhecida). Como, por exemplo, no caso da equação z²=az+b², ela
pode ser resolvida pela construção de um triângulo-retângulo e de um círculo,
cujo raio é um dos lados do triângulo (veja figura). A raiz ou a linha
procurada z (=OM) é a soma da hipotenusa do triângulo-retângulo
com o raio do círculo, isto é, z=½a+
Ö(¼a²+b²),
onde ½a é um dos lados (LN) do triângulo (igual ao raio ON do círculo) e b é o outro lado do triângulo (ML). Supondo que a
análise tenha fornecido, como resultado, a equação z²=az+b², como mostra
o exemplo examinado por Descartes, o método teria as etapas segundo o esquema
aqui apresentado.

A síntese comporta, pois, duas etapas, a exemplo do que
ocorre na geometria antiga. A primeira corresponde à construção ou
“interpretação” geométrica da equação, de maneira que a raiz dessa última fique
determinada geometricamente
[133]. Diante de várias soluções geométricas de uma mesma
equação, ainda que todas podem ser válidas sob o ponto de vista demonstrativo,
metodologicamente nem todas são aceitáveis: é “válida”, sob a perspectiva do
método, somente a solução mais simples, aquela que utilizará os meios (objetos geométricos)
mais simples. É esta a primeira contribuição do Livro III: ele afirma que não
se deve utilizar, por ocasião da construção de um problema, a primeira curva
que se encontra, mas é preciso escolher a mais simples dentre todas as
possíveis para sua resolução, sendo simples não somente aquelas que tornam a
construção ou a demonstração mais fáceis, mas principalmente aquelas que
pertencem ao gênero mais simples
[134].

A demonstração é, como o termo já diz, a prova
de que a construção feita resolve a equação dada pela análise. De um modo
geral, Descartes não fornece a demonstração, pois ela se torna dispensável
depois da análise e da construção. Na verdade, ele nada afirma sobre tal
assunto, mas certamente a viu como uma “repetição” de algo já efetivamente
realizado anteriormente ou algo tedioso de se fazer. Como se pode perceber em
vários exemplos dados na Geometria, mesmo a construção é por vezes
dispensada e, em outras, a análise e a construção são dadas conjuntamente
[135]. É este o método apresentado por Descartes e que será
ilustrado a seguir[136].

2.2 Exame do problema de Pappus

O problema de Pappus é o problema tratado em
maior extensão na Geometria. Ele tem uma importância capital na obra, a
ponto de poder se dizer que a partir dele se determina, se não a obra como um
todo, pelo menos boa parte de seus traços principais. Ele é fundamental, em
primeiro lugar, porque por meio dele, direta ou indiretamente, surgiu a
problemática da classificação da curvas, o problema da relação entre o grau da
equação e a complexidade das curvas, enfim, a classificação das curvas entre
geométricas e mecânicas, entre outros itens. Em segundo lugar, porque ele é um
exemplo metodológico por excelência (poder-se-ia mesmo dizer, o exemplo
metodológico da Geometria), além de mostrar as razões do entusiasmo cartesiano
pelo seu modo de fazer geometria[137].

Descartes formula este problema nos seguintes
termos (379, 14-380, 24). Sendo dadas em posição três, quatro ou um número
maior de linhas retas, pede-se, em um primeiro momento, para determinar um
ponto a partir do qual pode-se tirar outras tantas retas, as quais, formando
cada uma um dado ângulo com cada uma das primeiras, satisfazem a seguinte
condição: se são três as linhas dadas, que o retângulo formado por duas das
linhas desconhecidas tenha uma proporção dada para com o quadrado da terceira;
se são quatro as linhas dadas, que o retângulo formado por duas das linhas
desconhecidas tenha uma proporção dada para com o retângulo das duas restantes;
no caso de cinco linhas dadas, que o paralelepípedo formado por três das linhas
desconhecidas tenha uma proporção dada para com o paralelepípedo formado pelas
duas restantes e uma outra linha dada; sendo seis linhas, que o paralelepípedo
formado por três das linhas desconhecidas tenha uma proporção dada para com o
paralelepípedo formado pelas três restantes; se são sete, que o produto de
quatro das linhas desconhecidas tenha uma proporção dada para com o produto
formado pelas três restantes e uma outra linha dada; e, deste modo, esta
questão pode ser estendida a qualquer outro número de linhas ad infinitum.
Em um segundo momento, dado que há uma infinidade de pontos que satisfazem a
condição exigida, pede-se para determinar, não mais somente um ponto, mas a
linha (isto é, o lugar geométrico) na qual se encontram todos os pontos que a satisfazem.

O problema é dividido por Descartes, como se pôde
ver acima, em duas partes: na primeira, trata-se de encontrar um ponto (ou
alguns, se assim se desejar) que satisfaz(em) o problema; na segunda, trata-se
de encontrar o lugar geométrico formado pelo conjunto de todos os pontos que o
satisfazem. Descartes trata longamente do caso de quatro linhas retas dadas,
como ver-se-á abaixo. Suas duas partes são tratadas separadamente, a primeira
no Livro I (382, 8-386, 10) e a segunda no Livro II (397, 20-406, 10)). Em sua
primeira parte, ele mostrará que os pontos que satisfazem a condição exigida
podem ser encontrados por meio da régua e do compasso (isto é, utilizando somente
retas e círculos). Entretanto, quando ele será tratado em toda a sua extensão e
generalidade, o lugar geométrico, solução do problema, poderá ser construído
somente por meio de seções cônicas (ou círculos e retas, no caso de alguns
termos das equações serem nulos ou em função de alguns de seus valores). Por
meio deste exemplo, afirma o autor, poder-se-á também avaliar seu método e
compará-lo ao dos antigos geômetras[138].

Seguem abaixo os principais passos da Parte I
do problema, com quatro retas dadas.

1) Enunciação do problema (382, 8-17): Sejam AB, AD, EF, GH quatro linhas retas dadas em posição (mas não
em comprimento), encontrar um ponto C, tendo extraído outras quatro
retas, como CB, CD, CF, CH, as quais formam ângulos
dados com as quatro retas dadas, por meio do qual o produto de duas destas
retas desconhecidas tenha uma proporção dada (a igualdade, por exemplo) para
com as outras duas restantes (ou seja, CB.CF=CD.CH).

2) Análise (A):

A1) (382, 18-19) Supor o problema resolvido e, com isso,
supor como dados todos os elementos necessários à sua resolução[139].

A2/A3) (382, 19-385, 9) A fim de impor uma ordem à
confusão
[140] de todas as linhas do problema, considerar duas como as
principais, AB (dada em posição) e CB (desconhecida), nomeadas
respectivamente x e y, e determinar todas as outras a partir
destas. Uma vez prolongadas todas as linhas dadas até encontrarem x e y (também prolongadas), o exame das considerações sobre cada triângulo formado,
cujos ângulos são dados, dá origem às quatro equações correspondentes para cada
linha desconhecida. Assim, após alguns cálculos, são obtidas as equações (ou outras
com sinais distintos):

CB = y,

CD = (czy+bcx)/z²,

CF = (ezy+dek+dex)/z²,

CH = (gzy+fgl-fgx)/z².

A4) (385, 10-386, 10) Manipulação destas quatro equações
até reduzi-las a uma única: em primeiro lugar, faz-se a multiplicação de duas
equações pelas outras duas, conforme a condição do problema exige. A equação
resultante de CB.CF=CD.CH será (cf. 398, 4-10):

= (-dekz²y + cfglzy – dez²xy – cfgzxy + bcgzxy +

bcfglx – bcfgx²) / ez³ – cgz².

Por sua vez, fazendo y=1 (ou outro valor, pois,
para determinar um ponto C qualquer, pode-se atribuir um valor qualquer
a uma das incógnitas), a equação final será:

x² = [(bcfgl + bcgz – cfgz – dez²)x + cfglz +

cgz² – dekz² – ez³] / bcfg.

Em outros termos, sendo x a única linha
desconhecida, diz Descartes, teremos uma equação da seguinte forma: x²=+/-ax+/-b²[141]. Tendo reduzido a equação à sua forma mais simples possível, a análise cumpriu
sua tarefa[142].


3) Síntese (S): Descartes não a fornece (nem
mesmo a construção), pois, como a equação final é de segundo grau com uma
incógnita, sua solução é da forma já dada anteriormente. E, assim, pode-se
construir (determinar) o ponto C (ou vários pontos C), a partir
de diversas
grandezas atribuídas à linha y na equação dada acima, utilizando somente retas e círculos (régua e
compasso).

 

 

Problema de Pappus (parte I)

 

1) Enunciação do problema: Dadas as retas AB, AD, EF, GH, em posição, encontrar um ponto C, a
partir de outras quatro retas, como CB, CD, CF, CH,
que formam ângulos dados com as primeiras, de tal forma que CB.CF=CD.CH.

2) Análise:

2.1) Supor o problema resolvido.

2.2) Nomear as linhas e considerar duas como as
principais (AB= x; CB= y).

2.3) Determinar as equações de cada uma das retas
desconhecidas:

CB=y, CD=(czy+bcx)/z²,
CF=(ezy+dek+dex)/z², CH=(gzy+fgl-fgx)z²
.

2.4) Redução de todas as equações a uma única:

= (-dekz²y + cfglzy – dez²xy – cfgzxy
+ bcgzxy + bcfglx – bcfgx²) / ez³ – cgz².

Fazendo y=1, temos: x² = [(bcfgl + bcgz – cfgz
– dez²)x + cfglz + cgz² – dekz² –

ez³] / bcfg, que é uma
equação da forma x²=+/-ax+/-b². Com efeito, bcfgx² =

(bcfgl + bcgz – cfgz – dez²)x + (cfglz + cgz² – dekz² –
ez³)
.

3) Síntese: Descartes não a fornece, pois a equação resultante é
do tipo z²=az+b².

 

 

Como se pôde perceber, a análise apresenta exatamente os
passos descritos anteriormente, mesmo que
alguns deles possam ser postos conjuntamente (na verdade, a separação dos
passos é um tanto aleatória). Assim, Descartes começa por supor o problema
resolvido, atribui nome a todas as linhas necessárias, monta as equações para
cada linha desconhecida e reduz todas as equações a uma única. A montagem das
equações serve-se da escolha de duas linhas como as principais e define as
outras equações a partir delas.

A Parte II do problema de Pappus se diferencia
da anterior a partir do último passo da análise. Nesse caso (397, 28-399, 23),
sendo seu objetivo determinar o lugar geométrico que satisfaz a condição do
problema (e não mais somente um ou alguns pontos), não se pode atribuir
aleatoriamente valores para y, para depois determinar x. Assim, é
necessário determinar tanto x quanto y; em outros termos,
permanece a equação anterior à eliminação de y (isto é, uma equação de
segundo grau com duas incógnitas):

= (-dekz²y + cfglzy – dez²xy – cfgzxy + bcgzxy +

bcfglx – bcfgx²) / ez³ – cgz²,

a qual pode ser escrita, depois de abreviação e
simplificação, da seguinte forma:

y = m – nx/z + Ö(m²+ox-px²/m),

que deve representar o segmento de reta BC (pois BC=y).
O problema, pois, foi reduzido a esta equação, cuja resolução consiste em
procurar determinar a linha BC, deixando x indeterminado. Esta é
a equação mais simples que se pode encontrar para solucionar o problema de
Pappus dado em quatro linhas
[143]. E, com isso, a análise cumpre seu objetivo e chega ao
seu fim.

A síntese (S), desta vez, é fornecida, não
completamente e com seus passos apresentados de forma clara, mas com detalhes
suficientes para dela serem extraídas as características essenciais dessa
segunda parte do método.

A construção (S1) é a determinação geométrica
da equação dada acima. Nesta perspectiva, ela será desenvolvida e executada a
partir e em função do exame desta equação (400, 1-404, 5). Em outros termos, sendo y igual a m-nx/z+
Ö(m²+ox-px²/m),
a linha BC (=y) pode ser construída em função de suas três partes
constituintes, assim relacionadas: y é igual à linha m diminuída
da linha nx/z e somada à linha
Ö(m²+ox-px²/m).
Assim, o valor de y é determinado por várias operações envolvendo estes
três componentes da equação. A construção de y (=BC) vai
consistir na determinação de cada uma destas partes, sucessivamente, de tal
forma que BC seja igual a BK-KL+LC.

Destas três linhas, as duas primeiras são
fáceis a determinar (400, 1-14). Sendo m conhecida, são extraídas BK=m (sobre BC) e KI, igual e paralela à BA. Por sua vez, nx/z (por ser, neste caso, negativa)
[144] é uma parte de m e depende de x.
Descartes constrói nx/z (=KL) sobre m, tomando um ponto L de modo que IK/KL seja igual à z/n. Se KL/IL, proporção
conhecida, for igual à n/a, segue-se que IL=ax/z.

Feito isso, resta ainda a determinar o
segmento de reta LC=
Ö(m²+ox-px²/m),
por meio de um procedimento semelhante, ainda que muito mais longo e muito mais
complexo. Podem ocorrer as seguintes circunstâncias, arroladas abaixo (400,
15-401, 19).

1) Se LC=0, o ponto C se encontra na reta IL,
pois y=m-nx/z.

2) No caso da
raiz poder ser extraída, isto é, se e px²/m forem positivos e,
em adição, o²=4pm, y será igual a m-nx/z+(m+x
Ö(p/m) e o ponto C se encontrará em outra linha reta. O
mesmo ocorre se e ox ou ox e px²/m forem nulos.

3) Se px²/m=0 e, portanto, LC=Ö(m²+ox),
ter-se-á (y-m)²+2nx(y-m)/z+n²x²/z²-ox-m²=0, e o ponto C representa
uma parábola.

4) Se houver +px²/m, a equação será (y-m)²+2nx(y-m)/z+x²(n²/z²-p/m)-ox-m²=0, e C representa uma hipérbole. E, ainda, se a²m=pz², a
hipérbole é equilátera.

5) No caso de -px²/m, C representa uma elipse. Se, além disso, a²m=pz² e o ângulo ILC for
reto, C representa um círculo[145].

No caso (item 5), por exemplo, do lugar
geométrico ser uma elipse ou um círculo (402, 6-403, 20), deve-se encontrar
primeiramente o centro M, que está sempre sobre a reta IL, fazendo IM=aom/2pz. No caso específico de LC²=m²+ox-px²/m (isto é, mantidos
tais sinais), M e L estarão do mesmo lado em relação a I,
de modo que, se o=0, M coincide com I. Depois disso, o latus
rectum
(“côté droit”) deverá ser
Ö(o²z²+4mpz²)/a (ou seja, zÖ(o²+4mp)/a,
e o eixo transversal ou maior (“côté traversant”) estará para o latus
rectum
como a²m está para pz², sendo igual a
Ö(a²o²m²/p²z²+4a²m³)/pz² (ou seja, amÖ(o²+4pm)/pz).
Esse eixo estará sempre na linha IM, e LC será uma ordenada.
Tomando NM como a metade desse eixo maior e N do mesmo lado que L em relação a M, o ponto N será o vértice e a curva pode ser
construída “pelo segundo e terceiro problemas do Livro I de Apolônio” (403,
19-20). Assim, seguindo a exposição de SCOTT (1952, p. 109), tem-se:

NL = IL-IM+MN = ax/z-aom/2pz+amÖ(o²+4pm)/2pz,

LN’ = amÖ(o²+4pm)/2pz-ax/z+aom/2pz[146],

NL.LN’ = [amÖ(o²+4pm)/2pz+ax/z-aom/2pz] . [amÖ(o²+4pm)/2pz-ax/z+aom/2pz] =
a²m(m²+ox-px²m)/pz²
.

Isso posto, para toda elipse, é sempre válida a seguinte
propriedade:

latus rectum/eixo maior = LC²/NL.LN`

=
(m²+ox-px²/m)/a²m(m²+ox-px²/m)/pz² = pz²/a²m
.


Assim, se o eixo maior for amÖ(o²+4pm)/pz, o latus rectum será zÖ(o²+4pm)/a. Ou seja, dados os valores de IM, do latus
rectum
e do eixo transversal estipulados acima, juntamente com o de IL,
sendo NM o semi-eixo maior e NMN’ o eixo maior, LC será
também dado, isto é, estará construído.

A demonstração (S2) é dada por Descartes, somente para
esse caso da elipse (ou círculo), baseando-se nas Cônicas de APOLÔNIO
(1952)[147].
SCOTT (1952, p. 110-11) expõe a prova do modo dado abaixo[148].

NCR é uma
elipse[149],
cujo eixo maior, NR, é igual a 2a. Perpendicular ao eixo, NP é igual ao latus rectum q, e L é o ponto cuja abscissa é x,
isto é, NL=x. Assim:

(i) retâng. HFPG/NL² = NP/NR = latus
rectum/eixo maior = q/2a
, uma vez que RN/NP=HF/FP, isto é, 2a/q=a/FP,
onde FP=qz/2a. Assim, o retângulo HFPG = FP.FH = qx²/2a. Sendo NL²=x², segue-se a igualdade dada acima.

(ii) CL²=retâng. LNPG – retâng. HFPG, pois, como o retângulo LNPG=qx e o retângulo HFPG=qx²/2a, a equação acima (isto é, CL²) é igual a (2aqx-qx²)/2a.
Agora, para uma elipse (ou para um círculo), 2a/q=x(2a-x)/CL², onde CL² = (2aqx-qx²)/2ª = retâng. LNPG – retâng. HFPG.

No caso examinado, Descartes procede como
segue. Sendo NL=IL-IM+MN, isto é, igual a ax/z-aom/2pz+am
Ö(o²+4pm)/2pz, multiplicado pelo latus rectum zÖ(o²+4pm)/a, o retângulo LNPG será igual a xÖ(o²+4pm)-omÖ(o²+4pm)2p+ mo²/2p+2m². Dele deve ser subtraído o retângulo HFPG, que,
segundo a relação (i), está para NL² como o latus rectum está
para o eixo maior (isto é, pz²/a²m). Sendo

NL² = a²x²/z² – a²omx/pz² + a²mxÖ(o²+4pm)pz² + a²o²m²/2p²z²

+ a²m³/pz² – a²om²Ö(o²+4pm)/2p²z²,

o retângulo HFPG resultará da
multiplicação de NL² por pz²/a²m, isto é, será igual a

px²/m-ox + xÖ(o²+4mp) + o²m/2p – omÖ(o²+4pm)/2p + m².

Dada a relação (ii), isto é, subtraindo o retângulo HFPG do retângulo LNPG, obtém-se enfim LC² = m²+ox-px²/m,
sendo LC uma ordenada de uma elipse (ou de um círculo), aplicada sobre NL,
segmento do diâmetro NLR.

Desejando explicar tudo isso por meio de números,
façamos, diz Descartes, EA=3, AG=5, AB=BR, BS=1/2BE, GB=BT, CD=3/2CR, CF=2CS, CH=2/3CT, o ângulo ABR igual a 60º e, enfim, CB.CF=CD.CH. Agora, se AB=x e CB=y, y²=2y-xy+5x-x² ou y=1-1/2x+
Ö(1+4x-3/4x²),
e como BK=1, KL=1/2KI, bem como o ângulo IKL é
igual ao ângulo ABR e o ângulo KIL é igual a 30, segue-se que o
ângulo ILK será reto. Portanto, como IK=AB=x, KL=1/2x e IL=x
Ö(3/4) e sendo z=1, temos a=Ö(3/4), m=1, o=4, p=3/4, onde IM=Ö(16/3), MN=Ö(19/3).
Sendo a²m=3/4=pz² e o ângulo ILC reto, segue-se que a curva
determinada, NC, é um círculo.

 

 

Problema de Pappus (parte II)

 

1) Exposição do problema[150]:

2) Análise:

2.1) …

2.2) …

2.3) …

2.4) Redução de todas as equações a uma única:

y² = (-dekz²y + cfglzy – dez²xy – cfgzxy + bcgzxy + bcfglx –
bcfgx²
) / ezzz-cgz².

Por simplificação e abreviação, ela se transforma em:

y = m – nx/z + Ö(m² + ox – px²/m), sendo CB=y.

3) Síntese:

3.1) Construção:

i) Descartes divide a equação em três partes:

y=m menos nx/z mais Ö(m²+ox-px²/m). Ou seja, CB =
BK – KL + LC
.

ii) BK é conhecido e KL é construído em
função de x,

pois n/z varia em função de x.

iii) A construção de LC=Ö(m²+ox-px²/m) é mais complexa:

– Se m²+ox-px²/m=0 (LC=0), C se
encontra na reta IL e y=m-nx/z.

– Se houver +px²/m e o²=4pm, C está em outra linha reta.

O mesmo ocorre se e ox ou ox e px²/m forem nulos.

– Se px²/m=0 e, portanto, LC=Ö(m²+ox), C representa uma parábola.

– Se tivermos +px²/m, C representa uma
hipérbole. Se a²m=pz²,

a hipérbole é equilátera.

– Se tivermos -px²/m, C representa uma
elipse.

E se a²m=pz² e o ângulo ILC for reto, C representa um círculo.

3.2) Demonstração: Segue a prova de algumas
situações (caso 5).

 

A conclusão de Descartes, no caso do problema proposto
(para quatro linhas dadas), é a de que o lugar geométrico que satisfaz as
condições do problema pode ser tanto uma linha reta ou um círculo (lugar plano)
quanto uma das três seções cônicas (lugar sólido). Por sua vez, fica determinado
o primeiro “gênero” das linhas curvas, correspondente a polinômios de grau dois
e composto por essas seções e o círculo[151].

2.3 A denominação do método da Geometria

Descartes não atribui nome algum ao método descrito e
ilustrado na Geometria. Contudo, principalmente em sua correspondência,
há elementos ou indícios suficientes para que se possa chamá-lo de método de
análise
ou método de análise-e-síntese, a exemplo do método dos
geômetras gregos, com o qual apresenta “semelhanças estruturais” evidentes.

Antes do exame de sua correspondência,
entretanto, é possível apontar alguns indícios existentes na própria Geometria, que auxiliam na justificativa dessa nomeação. Por ocasião da apresentação
de seu método, como foi visto acima, Descartes apresenta suas duas etapas, a
que tem por objetivo final determinar a equação representante do problema e a
que pretende resolvê-lo efetivamente, conforme o título das seções deixam claro
(cf. as seções “Como é preciso chegar às equações que servem à resolução dos
problemas” e “Como eles (os problemas) são resolvidos” (372-76)). Apesar de não
chamar a primeira etapa de análise, nem a segunda de síntese, o importante aqui
é ter presente, primeiramente, a divisão do método em duas etapas bem distintas
e complementares, a exemplo do método dos geômetras antigos. Além disso, é
preciso assinalar que a segunda seção deixa claro que seu objetivo é mostrar
como construir (resolver) problemas, no caso específico, pertencentes à
“geometria ordinária”, identificando-se, portanto, se não com toda a etapa
sintética (uma vez que a demonstração não é fornecida), pelo menos com a sua
primeira parte, a construção
[152]. Mais adiante, na Parte II do problema de Pappus,
Descartes se refere à última parte de sua resolução como “demonstração”, após
ter determinado a equação e a construído geometricamente. Nessa seção,
intitulada “Demonstração de tudo isso que acaba de ser explicado”
[153], Descartes prova que a construção anteriormente
executada (no caso, para uma elipse ou para um círculo) resolve a equação
[154].

O exame da correspondência parece não deixar
dúvidas sobre a atribuição do nome ao método cartesiano. Ele pode ser dividido
em dois momentos. Em primeiro lugar, ver-se-á claramente que Descartes
estabelece a distinção entre, de um lado, a análise e, de outro, a construção e
a demonstração. Em uma carta a Mersenne, de 31 de março de 1638, diz o filósofo
que, no tocante à questão de Pappus, ele expôs a construção e a demonstração
inteiras, mas não toda a análise, ao mesmo tempo em que acusa seus opositores
de não terem compreendido seu método
[155]. A mesma idéia é expressa na carta de 20 de fevereiro
de 1639
[156]. A distinção entre análise e construção é também clara
em outra carta, de 31 de março de 1638, escrita a de Beaune. Nessa carta, ao
falar das hipérboles que correspondem a alguns casos do problema de Pappus
(cuja paginação confirma a correspondência exata ao que foi indicado acima como
a parte construtiva do método), bem como da determinação de tangentes e
normais, Descartes afirma que, no primeiro caso, forneceu somente a construção,
mas não a análise, como foi o caso também da maioria das regras apresentadas no
Livro III, enquanto que, para o segundo caso, apresentou somente a análise,
conforme denuncia a presença, na própria Geometria, da frase canônica
que dá início à etapa analítica (isto é, a frase “Je suppose la chose déjà
faite” (VI, 413, 29))[157].

O segundo momento diz respeito à contraposição
entre a análise e a síntese. Descartes diz a Mersenne, em 11 de outubro de
1638, que ele apresentou a demonstração da quadratura da ciclóide (também
chamada de “roulette”, na época), em correspondências que lhe foram
enviadas anteriormente, tanto de forma analítica quanto sinteticamente[158].
A demonstração analítica é exposta na carta de 27 de maio de 1638 (II, 135,
9-137, 8), enquanto a sintética se encontra na correspondência de 27 de julho
do mesmo ano (II, 257, 6-263, 7)[159].

O problema da roulette consiste em demonstrar o
espaço compreendido por uma linha curva, descrita por um ponto da
circunferência de um círculo, quando este rola sobre um plano[160].
A exposição analítica de Descartes é como segue. Seja AC uma dada reta
do plano e ADC a linha curva produzida, a partir de A, por um
determinado ponto da circunferência do círculo STVX, que rola sobre a
reta até C, sendo AC igual ao comprimento da circunferência.
Tomemos a reta AC e dividamo-la em inúmeras (duas, quatro, oito…)
partes pelos pontos B, G, H, N, O, P, Q, etc. É evidente, diz Descartes, que a perpendicular BD é igual
ao diâmetro do círculo e que a área do triângulo retilíneo ADC é o dobro
da área do círculo[161].

 

 

 

 

Depois disso, sendo E o ponto de intersecção do
círculo com a curva, estando o círculo em G, e sendo F outro
ponto, estando o círculo em H, os triângulos retilíneos AED e DFC,
juntos, são – evidentemente, repete o autor – iguais ao quadrado STVX inscrito no círculo. O mesmo vale para I, K, L e M,
tomados como pontos de intersecção, quando o círculo está, respectivamente, em N, O, P e Q, de sorte que os triângulos retilíneos AIE, EKD, DLF e FMC são, somados, iguais aos quatro triângulos
isósceles SYT, TZV, V1X, X2S, inscritos no círculo.
Idêntico raciocínio se aplica aos oito triângulos subseqüentes, e assim ao
infinito. A conclusão é a de que as duas áreas formadas pelos dois segmentos da
curva com as retas AD e DC são, juntas, iguais à área do círculo;
por conseguinte, a área total compreendida entre a curva ADC e a reta AC é tripla à do círculo.

Por sua vez, a demonstração sintética, mais
longa e mais complexa, segue abaixo. Seja AKFGC (figuras dadas abaixo) a
metade da linha curva descrita pelo ponto a da roulette anopbz,
quando esta se move ao longo da linha AB, sendo AB igual à metade
da circunferência do círculo e CB igual ao seu diâmetro. Tracemos a reta AC, bem como OE e DF, as quais dividem AB e CB ao meio. Consideremos, em seguida, que, estando o ponto o da roulette ajustado ao ponto O da linha AB, seu centro e se encontra
sobre o ponto E, uma vez que, sendo CD=½CB e DE=BO (=½AB).
Da mesma forma, estando aplicado sobre EF, o raio ea=EF, dado
que, sendo AO igual a um quarto da circunferência da roulette, os
ângulos aeo e FEO são, ambos, retos e AE=EC. Depois, tendo
tomado os pontos N e P, um em cada lado e na mesma distância de O,
bem como os pontos n e p correspondentes, de modo que o arco an=pb e também an=AN=PB, tracemos os diâmetros ne e pe e
suas perpendiculares ay e ax. Assim, o ponto n da roulette estando sobre N, seu ponto a se encontra em K; e, sendo KM paralela à AB, KM=NB+ay e MD=ye.

O mesmo vale para o ponto p, estando aplicado
sobre P. Nesse caso, como o ponto a está em G, GI=PB+ax e ID=xe, bem como GI+KM=AB+az, uma vez que ax+ay=az e NB+PB=AB,
sendo AN=PB. Além disso, LM+HI=AB, pois MB=CI; e, sendo
paralela à MB, LV=CI e, conseqüentemente, HI=AV, já que os
triângulos AVL e HIC são iguais e semelhantes. Assim, LM=VB.
Ora, como LM+HI=AB e KM+GI=AB+az, segue-se que KL+GH=az,
estando az na mesma distância de e que KL e GH de FE.
E porque os pontos N e P foram tomados aleatoriamente a partir de
uma mesma distância de O, o que faz com que KL e GH estão
na mesma distância de FE, isso é válido para todo par de retas traçadas
entre a reta AC e a curva AFC, desde que paralelas à FE e
igualmente distantes, uma em cada lado. Isto é, todo par de retas é igual à
reta inscrita na roulette (a exemplo de KL+GH=az), estando cada
uma delas tão distante de FE quanto essa reta do centro e[162].

 

 

Em seguida, tracemos sobre uma reta o semicírculo adb igual à metade da roulette e a figura jgχψω, cuja parte jgχθε seja igual e semelhante à FGCHE e a parte εθχψω igual e semelhante à ELAKF (construção que pode ser feita, pois AE=EC e os ângulos AEF e DEC são iguais), de modo que as bases e as
alturas das figuras serão iguais, bem como todo par de segmentos de reta
traçada paralela à base (p. ex., γφ=μν). Disso se
segue que a área da figura
jχω é igual à do semicírculo adb,
uma vez que duas figuras possuem áreas iguais, tendo a mesma base e a mesma altura
e cujas retas paralelas e equidistantes à base, interiores a cada uma delas,
sejam também iguais.

Mas, como este é um teorema que talvez nem todos
admitem, diz Descartes, sua prova pode ser dada como segue. Tendo traçado as
retas δα, δβ, χφ e χω,
é evidente, repete Descartes, que os triângulos φχω e αδβ são iguais, dado que têm a mesma base e a mesma altura. O mesmo vale para os
triângulos γχφ e ψχω, tendo traçado
as retas μα, μδ, νδ, νβ, γχ, γφ, ψχ e ψω,
os quais, somados, são iguais aos triângulos μδα e νδβ,
pois, sendo φω=αβ, 12 13=10 11; e, como γψ=μν,
as bases dos triângulos γχφ e ψχω são iguais às dos triângulos μδα e νδβ,
isto é, γ12+13ψ=μ10+11ν, sendo que suas alturas
também são as mesmas. Idêntico raciocínio se aplica a outros triângulos inscritos
a partir dos pontos 4, 5, 8, 9, etc. e dos pontos 2, 3, 6, 7, etc., e assim ao infinito, de forma que os
triângulos da primeira figura serão iguais aos da segunda e, por conseqüência,
toda a figura
jgχψω será igual ao semicírculo adb[163].

 

 

Assim, sendo o espaço compreendido entre a reta AC e a curva AKFGC igual ao semicírculo (figuras anteriores), todo o espaço AFCB é triplo do semicírculo, pois o triângulo retilíneo ABC é igual
ao círculo inteiro (dado que AB é igual à metade da circunferência e BC igual ao seu diâmetro)[164].
O mesmo raciocínio vale quando a reta AB é diferente (como quando o
ponto que descreve a curva está fora ou no interior do círculo), de sorte que o
espaço compreendido entre a reta AC e a curva AFC não deixará de
ser igual à metade do círculo cujo diâmetro é BC, apesar do triângulo ABC alterar sua grandeza. Portanto, ainda que a grandeza da reta AB seja diferente,
a demonstração continua sendo idêntica à fornecida acima.

Essas são as duas demonstrações dadas por Descartes para
o problema da quadratura da ciclóide, a primeira de forma analítica e a segunda
de modo sintético, conforme as próprias palavras do autor. É preciso
reconhecer, entretanto, que tais exposições não apresentam, à primeira vista,
pelo menos, aquela estrutura caracterizada acima por ocasião do estudo do
método e do exame do problema de Pappus. Mas é possível remediar essa
disparidade, cuja razão principal é a de que, no caso presente, não se tratando
de uma curva geométrica, mas mecânica, a ciclóide (ou roulette) não pode
ser representada por meio de uma equação (algébrica) correspondente, de sorte
que o procedimento se altera substancialmente em termos de apresentação. Em
outras palavras, não há como determinar, pela análise, a equação que represente
o problema, uma vez que essa equação não existe: a equação correspondente à
curva em questão exige elementos da natureza trigonométrica (em termos atuais,
diz-se que a ciclóide é uma curva transcendente), enquanto Descartes opera
somente com equações que utilizem operações algébricas (+, –, , , )[165].

Assim, não é possível, na análise, ter como objetivo
final determinar a equação do problema, nem, na síntese, partindo do que é
fornecido pela análise, construí-la geometricamente ou resolvê-la, como se fez
mais acima: é preciso, no caso de uma curva transcendente, utilizar outros
recursos, os quais não serão tampouco os do cálculo infinitesimal, pois, ao
contrário de Fermat, Descartes não o aceita como legítimo.

Em segundo lugar, como a análise é dada separadamente
(pois a síntese é fornecida somente na segunda carta), ela não termina em algo
correspondente à montagem da equação representante da “dificuldade” do problema
(por onde começaria a construção), mas acaba resolvendo-o integralmente, quando
Descartes conclui que “a área dos dois segmentos da curva, que têm por bases as
retas AD e DC, é igual à do círculo; e, por conseqüência, toda a
área compreendida entre a curva ADC e a reta AC é tripla do
círculo” (II, 136, 15-137, 1). Nesses termos, a análise aparece como completa e
independente da síntese, apesar do caráter geral e resumido em que se
apresenta, o que deu motivo para as reclamações de Roberval[166].

Assim, a análise apresenta somente as linhas centrais do
cálculo, mas essa era a sua função também nos problemas examinados
anteriormente, quando a determinação da equação significava a determinação e a
condensação das relações básicas ou fundamentais do problema. Em ambos os
casos, ela não apresenta os detalhes de cada passo ou os elementos que
constituem “o interior” de cada um deles[167].
Não é função da análise apresentar completa e detalhadamente a solução do problema,
nem prová-la, como faz a síntese, ainda que, como são dadas separadamente no
presente caso, a análise é uma demonstração completa[168].
Além disso, Descartes deixa claro que a exposição analítica diz respeito, antes
de tudo, à descoberta; por isso, afirma que, no primeiro caso, ele encontrou a demonstração, enquanto, no segundo, ela a explicou, evidenciando o
caráter inventivo da análise e o expositivo-demonstrativo da síntese[169].
Por fim, é preciso admitir que a exposição sintética apresenta a construção e a
demonstração de forma completa e detalhada, resolvendo adequadamente o problema
proposto, ainda que Descartes pense poder dispensar a demonstração[170].
E, de forma contrária à análise, à síntese cabe o detalhe e a prolixidade[171].

Portanto, apesar de algumas disparidades decorrentes do
fato de se tratar de uma curva transcendente (mecânica) e não algébrica
(geométrica), bem como em razão de a análise e de a síntese serem apresentadas
separadamente, a demonstração da quadratura da ciclóide evidencia o
procedimento analítico-sintético cartesiano. Segue-se que, juntamente com as razões
apresentadas anteriormente (primeiro momento) – fundamentalmente a que
apresenta a construção e a demonstração enquanto partes por excelência da
síntese, como sempre foram vistas dentro da história da matemática, e leva,
como decorrência, à equiparação entre a síntese e estas duas partes, por oposição
à análise – apresenta-se como pertinente a nomeação atribuída ao método
apresentado e ilustrado na Geometria. E, assim, o exame da
correspondência cartesiana sobre a Geometria parece justificar o nome de
método de análise-e-síntese para o procedimento apresentado na obra[172].

2.4 O método e a exposição da teoria geométrica

O estudo da Geometria enquanto um dos “ensaios
não pode se restringir exclusivamente ao exame do método enquanto procedimento
de solução de problemas. Na verdade, o próprio método circunscreve-se dentro de
um programa mais geral do que aquele determinado por sua atuação restrita e
“repetitiva” em cada problema, cuja finalidade seria a solução dos mesmos, pura
e simplesmente. Nesse sentido, a metodologia só pode ser bem compreendida se a
ela for reconhecida uma segunda função. Ainda que seja difícil apontar clara e
univocamente quais são os objetivos da Geometria
[173], é certo, ao menos, que a metodologia, além de ser fecunda
enquanto arte de resolver problemas, serve também como meio de exposição, de
desenvolvimento e de comprovação de um novo quadro teórico, dentro do qual se
encontra a tese de que todos os objetos geométricos se organizam e se
determinam uns aos outros a partir de um ordenamento governado pelo critério da
simplicidade, onde a linha reta ocupa o lugar de objeto mais simples e absoluto
[174].

Esta tese fundamental já é exposta, ainda que
de uma forma condensada, na primeira página da Geometria (mais
precisamente, é sua primeira frase)[175].
Esta afirmação tem sido de modo geral negligenciada por boa parte dos
intérpretes ou, pelos menos, não considerada em toda a sua profundidade.
Descartes começa sua obra caracterizando todos os problemas da geometria
e não somente os problemas planos, tratados no Livro I; isto significa que ele
pretende abarcar, com esta afirmação, toda a geometria e não somente parte
dela, e afirma que qualquer um deles pode ser reduzido a um conjunto
mínimo de termos, isto é, pode ser expresso de uma forma tal que seja a mais
simples possível
[176]. Depois disso, ele deixa claro que a construção (isto
é, a solução) do problema, uma vez expresso em sua forma reduzida, – e é este
elemento que mais interessa aqui – depende somente da determinação de algumas
linhas retas. Em outros termos, todos os problemas, mesmo os mais complexos,
não dependem senão de algumas linhas retas ou do que delas pode resultar.

Se, à primeira vista, parecer ininteligível
esta tese sobre o caráter absoluto e determinante das linhas retas (ainda mais
que na Geometria trata-se antes de tudo de curvas), há outros elementos
ao longo da obra que ajudam a esclarecê-la. O primeiro passo fundamental para
estabelecê-la (passo este que se segue imediatamente à afirmação dada acima
(369, 8-371, 3)) é a “expulsão” do domínio da geometria de todos os objetos
geométricos que não são linhas, decorrente da introdução do conceito de unidade
e da conseqüente “destruição” do conceito de dimensão geométrica em uso desde
os gregos. É por este recurso que a multiplicação, por exemplo, de uma linha reta
por outra não dá mais origem a uma área, mas a uma outra linha reta; da mesma
forma, a multiplicação de três linhas não dá origem a um volume, mas a uma
outra linha. Assim, as operações aritméticas introduzidas na geometria, uma vez
aplicadas sobre linhas, produzem somente outras linhas e não outros objetos
geométricos. Por meio desse único passo, aparentemente simples e ingênuo, Descartes
decreta a possibilidade de uma geometria das linhas e de suas relações.

O segundo passo importante nesta direção é a
maneira pela qual Descartes mostra como as curvas podem ser geradas a partir de
linhas retas e de seu movimento. A Geometria expõe no início do Livro II
o famoso mesolabum ou compasso de “esquadros deslizantes” (391, 1-392,
14), por meio do qual pode-se engendrar curvas, das mais simples às mais
complexas, a partir de um único movimento ou de vários movimentos
unideterminados. Tais curvas são as únicas que são aceitas como legítimas e
podem ser chamadas legitimamente de geométricas (em oposição às mecânicas),
exatamente porque determinadas por um conjunto de movimentos comensuráveis[177].
Este instrumento produtor de curvas evidencia a tese de que “por detrás” de uma
curva existe sempre uma ou mais retas que determinam este mesma curva. E isto
significa duas coisas: a primeira, que toda curva “mantém relações estritas”
(passíveis de serem determinadas e, portanto, de serem conhecidas) com as
linhas retas; segundo, como conseqüência, as curvas mantém relações entre si
(expressas pela teoria da proporção), o que acaba por sugerir os diferentes
graus de complexidade de cada uma delas.

É nisto que consiste o terceiro passo e aqui entram os recursos algébricos como conseqüência do exame dos resultados provenientes
da utilização deste compasso produtor de curvas. Descartes expõe nesse mesmo
local sua classificação das linhas curvas, baseada em sua expressão algébrica,
isto é, a partir dos graus das equações que as caracterizam. Mas o que mais
interessa aqui não é tanto esta classificação em si quanto a límpida afirmação
de Descartes sobre o que representa uma equação[178].
Como se pode ver, o autor deixa claro que todo e qualquer ponto de uma curva
mantém uma determinada relação, expressa por uma equação, com os pontos de uma
linha reta dada ou construída. Mais do que isso: toda curva é conhecida,
determinada e classificada em função desta sua relação que possui com uma linha
reta
[179].

Se estes três passos representam as principais
etapas pelas quais se estabelece a relação entre as linhas retas e curvas, bem
como entre as próprias curvas entre si, mas também entre curvas e equações, é
no interior dos problemas examinados que se pode perceber como, sob o ponto de
vista operatório, este processo é efetivamente realizado. A simbolização utilizada
por Descartes joga aí um papel fundamental, pois permite tratar os problemas em
sua maior generalidade. A conseqüência disso é que, ao lidar com uma ou duas
linhas retas quaisquer, Descartes não está lidando simplesmente com um segmento
de reta determinado, mas com variáveis cuja variação determina a linha (ou
lugar geométrico) que é solução do problema em questão. No caso do problema de
Pappus, as linhas AB e BC (as “linhas principais”, x e y)
são as que comandam e determinam o lugar geométrico do ponto C; no
limite, é a linha BC que determina as linhas-solução do problema, já que
a equação de y inclui a variável x (isto é, y é igual a m-nx/z+√(m²+ox-px²/m)).
E, assim, determinar a variável y (a linha reta BC, em sua
generalidade) é determinar a curva, solução do problema (o lugar geométrico do
ponto C).

Por outro lado, esta tese sobre a linha reta
não pode ser afirmada fora de uma contextualização e sem limites. E isto por
duas razões básicas. A primeira é que, historicamente, a linha reta sempre tem
sido considerada um objeto geométrico “privilegiado”, ainda que entre outros.
Desde os antigos sempre se pretendeu resolver os problemas geométricos pelos
meios mais simples possíveis, isto é, primeiramente por meio de retas e
círculos (o círculo não sendo gerado senão pela rotação de uma reta sobre si
mesma)
[180]. Além disso – e talvez mais importante do que isso –,
todo objeto geométrico sempre foi considerado como conhecido somente quando
relacionado com retas ou com objetos imediatamente “decorrentes” de linhas
retas. Não há, desde os gregos, como conhecer uma curva ou qualquer objeto
geométrico “complexo” senão reconduzindo-os a objetos com características
retilíneas. Em outros termos, a própria “racionalidade” da ciência geométrica
repousa sobre o caráter imediatamente inteligível e primordial dos objetos
retilíneos.

A segunda razão é que Descartes se interessa
muito mais por resolver problemas geométricos que simplesmente classificar
objetos geométricos tout court ou desenvolver uma determinada teoria
sobre os mesmos. E, com isso, se interessa menos pelos objetos que por suas
relações, descobertas no interior e no processo de resolução destes problemas.
São os procedimentos em atuação que produzem ou mostram determinadas
propriedades destes objetos, antes que um estudo direto destes mesmos objetos.
Dentro desta perspectiva, é a partir do nível operatório (e metodológico) que
deve ser compreendida esta tese; e, neste sentido, não é propriamente e
exclusivamente a linha reta que ocupa o lugar determinante na obra de
Descartes: na verdade, a reta não é suficiente enquanto elemento essencial para
a solução de qualquer problema, mas é propriamente a equação que deve ser considerada
como tal, enquanto representa a dificuldade deste mesmo problema.

Mas esta dificuldade aparece somente quando se
contrapõem dois pontos de vista distintos sobre a Geometria: aquele que
privilegia os objetos em contraposição àquele que privilegia os procedimentos
algébrico-operacionais, perspectiva que não parece pertinente à leitura da
obra. Em outras palavras, esta contraposição parece não representar muito bem a
visão de Descartes. Por um lado, os objetos geométricos podem ser engendrados
(construídos) uns a partir dos outros por meio de um movimento único (mesmo que
composto) e preciso; além disso, estes objetos são tanto instrumentos de
solução quanto a solução mesma dos problemas e, assim, são estudados tanto como
objetos em si mesmos quanto objetos que servem a outros fins; enfim, resolver
um problema para Descartes é construí-lo e fazer geometria é representar seus
objetos na intuição, com a ajuda da imaginação. Por outro lado, os recursos
utilizados são algébricos, a novidade cartesiana brota deste campo e a desordem
dos objetos geométricos só pode ser arrumada por meio de critérios algébricos.
Assim, os dois campos se unem. A álgebra fornece elementos formais e
organizacionais; a geometria fornece conteúdo ao simbolismo vazio. O resultado
é que toda curva é passível de ser legitimamente construída, quando admitir uma
equação algébrica e os objetos geométricos poderem ser organizados segundo o
grau destas equações.

Assim, a metodologia da Geometria apresenta uma segunda característica. A primeira é que ela consiste numa arte
de solução de problemas. O método, como foi visto acima, é aplicado a um
problema geométrico compreendido como uma complexidade de objetos que se
apresentam interdependentes e interdefiníveis, onde o exame desta configuração,
através dos vários passos, permite sua resolução. O principal passo da análise
consiste em reduzir o problema a uma única equação da forma a mais simples
possível e, neste sentido, ela cumpre a função de conquistar o objeto mais
simples e absoluto (como dirão as Regras), o qual possibilita a resolução
da questão. A conquista da equação é, pois, o passo final da etapa analítica,
uma etapa que pode ser dita ir do complexo ao simples
[181]. Depois disso, resta fundamentalmente construir
geometricamente a equação e, assim, representar o problema completamente e em
toda a sua complexidade (onde todos os objetos dados e procurados são
apresentados), de uma forma clara e determinada. É este o método de
análise-e-síntese.

Por outro lado, o método da Geometria não pode ser compreendido sem um quadro teórico, que consiste principalmente na
expulsão para fora da geometria de todos os objetos que não são linhas e na
demonstração de que todas as linhas aceitáveis e passíveis de serem conhecidas
podem e devem poder ser classificadas dentro do mesmo princípio que governa o método,
isto é, o critério da simplicidade e da complexidade. Não é por outra razão que
o método pode ser aplicado a tais objetos. Como resultado, emerge uma
classificação dos problemas e dos próprios objetos, classificação que
transcende o tratamento interno de um problema e que dá indicações de um campo
organizado do saber ou de uma disciplina.


[1] Como reconhecem as Segundas respostas: “No que concerne ao conselho que me dais, de dispor
minhas razões segundo o método dos geômetras (…), dir-vos-ei aqui de que
forma já tentei precedentemente segui-lo, e como procurarei fazê-lo
ainda posteriormente” (IX, 121; 1983, p. 166; itálico acrescentado).

[2] Diz ele: “Necessaria est methodus ad rerum
veritatem investigandam” (X, 371, 2-3).

[3] Cf. as passagens completas
dos respectivos textos. Diz o primeiro: “Contudo, estou persuadido de que as
primeiras sementes de verdades, depositadas pela natureza nos espíritos humanos
e por nós abafadas, devido à leitura ou à audição quotidianas de tantos erros,
tinham tal força naquela rude e simples antigüidade que os homens, mediante a
mesma luz intelectual com que viam haver que preferir a virtude ao prazer e o
honesto ao útil, embora ignorassem porque era assim, também chegaram a conhecer
as idéias verdadeiras da Filosofia e da Matemática, sem terem ainda podido
alcançar perfeitamente estas mesmas ciências. Na verdade, parece-me que alguns
vestígios desta verdadeira Matemática surgem ainda em Pappus e Diofanto, os
quais, sem serem dos primeiros tempos, viveram no entanto muitos séculos antes
da nossa era. E não me custa acreditar que, ulteriormente, os próprios autores
a fizeram desaparecer por uma espécie de astúcia perniciosa” (X, 376, 12-26;
1985, p. 27-28). Diz o segundo: “Houve, enfim, alguns homens muito engenhosos
que se esforçaram no nosso século por ressuscitar a mesma arte, pois a que se designa
com o bárbaro nome de Álgebra não parece ser outra coisa, contanto que apenas
seja de tal modo liberta dos múltiplos números e inexplicáveis figuras que a
complicam, que não mais lhe falte aquele grau de perspicácia e facilidade
extremas que, por suposição nossa, devem existir na verdadeira Matemática” (X,
377, 2-9; 1985, p. 28).

[4] A inclusão da silogística
não altera em nada a procedência da metodologia cartesiana. Se, por um lado,
não é fácil avaliar a contribuição metodológica (caso haja alguma) dessa disciplina
comumente desprezada por Descartes, por outro lado, pode-se dizer desde já que
ela não contribui efetivamente com nenhum de seus esquemas formais. Parece
possível justificar sua inclusão “acidental” (assinalada essa única vez),
entretanto, em função do que ela denuncia: a possibilidade de, com ou sem
regras, o homem encadear ou derivar conhecimentos corretamente. Na verdade, a
crítica cartesiana à lógica é dirigida muito mais à dialética, como é dito na Conversa
com Burman
(V, 175; 1981, p. 136), bem como ao uso indevido de uma ou de
outra como procedimentos de descoberta, como as Regras afirmam várias
vezes, que à própria lógica na medida em que se mantém dentro de seus limites.
Com efeito, a lógica “permet d’atteindre dans toutes les questions à une vérité
démonstrée” (V, 175).

[5] Diz Descartes: “Pour ce qui
regarde le conseil (…) de disposer mes raisons selon la méthode des Géomètres
(…), je vous dirai ici en quelle façon j’ai déjà taché ci-devant de la
suivre, e comment j’ai tacherai encore ci-après” (IX, 121).

[6] Diz ele: “Dans la façon
d’écrire des Géomètres, je distingue deux choses, à savoir l’ordre, et la
manière de démontrer”; “La manière de démontrer est double: l’une se fait par
l’analyse ou résolution, et l’autre par la synthèse ou composition”; “Les
anciens Géomètres avaient coutume de se servir seulement de cette synthèse dans
leur écrits, non qu’ils ignoraient entièrement l’analyse (…). Pour moi, j’ai
suivi seulement la voie analytique dans mes Méditations” (IX, 121-122;
1983, p. 166-67).

[7] Cf. também essas mesmas
passagens na edição latina (VII, 155-ss).

[8] Descartes se beneficiou de
inúmeras traduções para o latim das obras clássicas da geometria grega, feitas
principalmente no final do século XVI. Federigo Commandino (1509-1575) traduziu
muitos autores gregos, dentre os quais Ptolomeu, Arquimedes, Apolônio (Cônicas,
em 1566), Euclides (Elementos, em 1572) e Pappus (Coleção matemática,
em 1588; outras edições, em 1689 e 1602). Descartes conhecia muito bem as obras
aqui mencionadas de Pappus e de Apolônio (além de conhecer Arquimedes e também
Euclides). Pappus é citado não só nas Regras, mas principalmente na Geometria. Nessa obra, Descartes cita (VI, 377-79), segundo a tradução de Commandino,
um longo trecho do Livro VII de PAPPUS (1982, p. 506-10), texto que, com nosso
filósofo, vem a se constituir no célebre “problema de Pappus”. Um outro
problema do mesmo livro da obra de PAPPUS (L. VII, Prop. 72, p. 606-08) é examinado
por Descartes no Livro III da Geometria (VI, 462-63). É interessante
observar que é exatamente nesse Livro VII que Pappus apresenta sua descrição
sobre o método de análise (e síntese), texto que será examinado mais abaixo. O
nome de Apolônio é também freqüentemente citado (na correspondência, por
exemplo) e suas Cônicas são muito utilizadas na Geometria,
enquanto Arquimedes é citado geralmente no que se refere às artes mecânicas e
ao seu método de demonstração. Na Epístola enviada aos doutores da
Faculdade de Teologia de Paris, por meio da qual foi-lhes apresentado o texto
das Meditações, Descartes cita os três autores (VII, 4; IX, 6; 1983, p.
77).

[9] Como já dizia a Regra IV,
“a mente humana tem não sei quê de divino, em que as primeiras sementes dos
pensamentos úteis foram lançadas de tal modo que, muitas vezes, ainda que
descuradas e abafadas por estudos feitos indiretamente, produzem um fruto
espontâneo. É o que experimentamos, nas ciências mais fáceis, a aritmética e a
geometria:
os antigos
geômetras fizeram uso de uma espécie de análise, que estendiam à resolução de
todos os problemas, ainda que não a tenham transmitido à posteridade” (X, 373, 7-13; 1985, p. 25).

[10] A Geometria (p. ex., VI, 376, 23-28; 378, 23-28), em razão disso, acusa
os geômetras de prolixidade e de não irem além da representação espacial sensível
(suas três dimensões).

[11] Descartes, quando ainda jovem, utiliza a nomenclatura cóssica, apresentada por
Clávius em sua Álgebra (cf., p. ex., X, 155-56; 244-45; 265-76; 294-97;
298).

[12] Cf. a Regra XVI (X, 454-ss).

[13] Cf. o comentário de GILSON (1987, p.
187-95) e a análise de TIMMERMANS (1995, p.104-08).

[14] Dentre outros, cf. GILSON (1987, p. 187-ss), onde
se encontra a tradução latina, feita por Commandino, de parte do texto de
Pappus sobre a análise e a síntese. MARION (1977, p. 137-38) cita parte desse
texto e faz referências a Viète, mas não vai além disso. ALQUIÉ (1969, p.
35-36) fala rapidamente da análise, mas não a conecta ao método de Descartes.

[15] Não há, por exemplo, um estudo sobre a
metodologia das Regras e sua relação com os geômetras gregos, semelhante
ao que há, por exemplo, entre essa obra de Descartes e a de Aristóteles, como é
o caso de MARION (1981). Dificilmente encontrar-se-ão estudos sobre a Geometria enquanto “ensaio do método”, bem como sobre sua relação com o método de análise
dos gregos e seus seguidores. O mesmo poderia ser dito em relação ao método de
Descartes e a “arte analítica” de Viète. A carência de estudos desse tipo é
resultado da visão excessivamente epistemológico-normativa e apriorística dos
estudos sobre o tema, em detrimento dos elementos prático-operacionais da
metodologia (seja a de Descartes, seja a de seus inspiradores).

[16] Até há pouco tempo, parece que só existia um
breve artigo sobre o tema, o de ROBERT (1937), ainda que outros, como HAMELIN
(1911), tratassem rapidamente do assunto. Depois dos estudos de HINTIKKA e
REMES (1974; 1983) sobre os gregos, vários autores têm tocado no assunto, mas
sem detalhes e em poucas linhas. As principais exceções são o próprio HINTIKKA
(1978), LOPARIC (1991) e TIMMERMANS (1995). Entretanto, tais estudos ainda não
preenchem a lacuna aqui detectada, apesar de excelentes: os primeiros são breves
e não pretendem discutir a literatura cartesiana em toda a sua complexidade; o
último, certamente o mais extenso estudo sobre o tema, é uma discussão ainda
bastante “teórica”.

[17] Parece ser unânime,
atualmente, a posição de que o surgimento do método de análise se deu no
interior da própria ciência geométrica, contrariamente à tese defendida ao
longo dos séculos de que coube a Platão a invenção desse método. Dentre os
primeiros a afirmarem a origem platônica, como diz TIMMERMANS (1995, p. 9),
estão Proclus e Diógenes Laércio; mais tarde, VIÈTE, no início de sua Introdução
à arte analítica
(1970, p. 1; KLEIN, 1992, p. 320), reporta-se a essa mesma
idéia; ultimamente, alguns estudos (como é o caso de Cornford e do próprio
Timmermans), mesmo reconhecendo que Platão não seja o inventor desse método,
observam que as relações entre a dialética platônica e o método de análise são
bastante esclarecedoras.

[18] Não pode haver dúvida de que a análise geométrica
foi extremamente influente ao longo dos séculos. A história dessa tradição,
para além de seus inventores e originais praticantes, parece estar marcada por
duas características gerais. A primeira diz respeito ao fato de que, salvo em
dois grandes momentos da história, o método de análise esteve sob forte
influência de “sistemas” filosóficos, nomeadamente o de Aristóteles. Nessa
perspectiva, esse método foi muitas vezes relacionado (ou, mesmo, confundido)
com a análise silogística. Na verdade, o termo “análise” não era um termo
unívoco já entre os gregos, como mostram GILBERT (1960) e GULLEY (1983). Esse
último intérprete mostra (p. 19) que a análise geométrica aparece em meio à
elucidação do termo “análise” em seu sentido lógico, principalmente nas
ocasiões em que os comentadores gregos pretendem explicar as razões que levaram
Aristóteles a chamar duas de suas obras de Analíticos. Nesse sentido, a
análise geométrica, muitas vezes, se torna um caso particular de um método que
tem outras “aplicações”, mas que se afasta do sentido que os matemáticos lhe
atribuíam. Galeno, por exemplo, em suas discussões sobre o método científico
mais adequado (à área médica), se refere também, como afirmam HINTIKKA e REMES
(1974, p. 91; p. 99), a outras espécies de análise, como a estóica, a
platônica, além da aristotélica e da geométrica. Na Idade Média – e, de um modo
geral, até o surgimento das primeiras traduções latinas dos clássicos da
geometria grega, dentre os quais se destaca a obra de PAPPUS (1588), ou,
coincidentemente, enquanto a filosofia aristotélica dominou o pensamento
ocidental e, dentro desta, a silogística era vista também como um procedimento
de descoberta no lugar dos Tópicos – “análise” e “síntese” (isto é, “resolutio”
e “compositio”) eram termos interpretados aristotelicamente. Segundo alguns
intérpretes (GILBERT, 1960; HINTIKKA e REMES, 1974, entre outros), incluem-se
aí autores como Grosseteste, mesmo Zabarella, além dos escolásticos e
metafísicos que antecederam a Descartes (como, por exemplo, Eustachio a Sancto
Paulo, cujos textos são citados por GILSON (1979, p. 181-84)). A segunda
característica da história do método de análise geométrica é a de que, em duas
ocasiões, houve uma “volta às origens” e uma tentativa de redescobrir (e
desenvolver) os segredos desse método. O primeiro momento, de âmbito exclusivamente
matemático, se refere aos séculos X e XI, no mundo árabe, onde se destacam os
textos de Ibn Sinan, Tratado sobre o método da análise e da síntese (BELLOSTA-BAYLET, 1994, p. 1-108), e de Ibn al-Haytham, A análise e a
síntese
(RASHED, 1991a; 1991b). O segundo momento, de âmbito mais geral, se
refere aos séculos XVI e XVII (mesmo ao XVIII), começando com Viète e Galileu,
passando por Descartes, Newton, entre outros, chegando até Kant. A influência
da análise geométrica, enfim, chega até nossos dias, por exemplo, em POLYA (1986).

[19] A diferença entre os dois
tipos de análise decorre da diferença das entidades envolvidas, problemas e
teoremas (ou, como diz POLYA (1986, p. 104), “problemas de determinação” e
“problemas de demonstração”, respectivamente). Há uma longa discussão entre os
gregos sobre a natureza e a distinção entre tais entidades, bem como se há
entre elas uma primazia ou prioridade, sob o ponto de vista da natureza da
geometria. Geômetras de influência platônica (como Proclus), acabam por dar
prioridade ontológica aos teoremas (ou, pelo menos, diminuem a primazia dada,
por outros, aos problemas), visto que, por meio dos problemas, o geômetra
constrói ou gera entidades, isto é, dá ser ou existência a coisas que sempre
existiram e modifica objetos (quando divide, aumenta e diminui uma figura) cuja
realidade é imutável (o que é contra o platonismo), enquanto que os teoremas
exibem propriedades essenciais dos objetos geométricos supostamente existentes.
Sobre algumas posições a respeito dessa questão, cf. HEATH (1956, p. 124-129);
uma discussão mais detalhada se encontra em KNORR (1986, p. 348-360).
Descartes, é bom salientar, tem plena consciência da distinção entre tais
entidades, como mostram as Segundas respostas (VII, 156; IX, 122).

[20] Cf.:
“What is involved in his description is a method of analysis and synthesis,
not a method of analysis alone. This is true both of Pappus’ account of analysis
and synthesis and of the practice of all known ancient mathematicians”.

[21] Esta é certamente a
principal razão de Descartes (X, 373, 15; VII, 156, 17-20; IX, 122), dentre
outros, ter acusado os gregos de esconderem seu procedimento de descoberta como
um grande segredo e apresentarem ao público somente seus resultados por meio de
uma forma estéril (ainda que demonstrativa).

[22] O exemplo clássico do
emprego isolado do método sintético são os Elementos de Euclides. Esse
fenômeno, inclusive, deu origem a um outro conceito de síntese (ou a um
desmembramento do conceito original), do qual tem consciência também Descartes
(VII, 156; IX, 122), entendido como método de exposição que se caracteriza pela
utilização de definições, postulados e axiomas, seguidos pela demonstração de
teoremas e pela solução de problemas. Por sua vez, a etapa sintética poderia
também ser dispensada, no caso das proposições geométricas serem recíprocas e
em outros casos onde a prova seria trivial ou óbvia. O problema da duplicidade
(ou ambigüidade) do conceito de síntese será discutido mais adiante.

[23] Serão utilizadas, via de
regra, denominações como “etapa analítica” e “etapa sintética”, enquanto partes
do método de análise (isto é, do método de análise-e-síntese), para não serem
confundidas com o todo. Por sua vez, a denominação “método de síntese” é
reservada à definição dada na nota anterior. Por fim, os termos “análise” e
“síntese” podem adquirir tanto o sentido de partes do método de análise, quanto
dos métodos em si mesmos, dependendo do contexto.

[24] Parecem ser dois os
principais textos que podem servir de comparação com o de Pappus. O primeiro é
uma interpolação no Livro XIII dos Elementos.
Ele diz:
Analysis is an assumption of that which is sought as if it were
admitted <and the passage> through its consequences to something admitted
(to be) true. Synthesis is an assumption of that which is admitted
<and the passage> through its consequences to the finishing or attainment
of what is sought” (HEATH, 1956, p. 138).
O outro é de Heron em seu comentário ao Livro II dos Elementos,
existente na tradução árabe feita por al-Nairizi (Annaritius). Cf. KNORR (1986,
p. 354-55) para uma comparação entre as três versões.

[25] Citação extraída de HINTIKKA
e REMES (1983, p. 29-30), com algumas modificações a partir de HINTIKKA e REMES
(1974, p. 8-10) e acréscimo do primeiro parágrafo. A passagem pode ser
encontrada em HEATH (1956, p. 138-39) e em MAHONEY (1968, p. 322), dentre outros.
Cf. também PAPPUS (1982, p. 477-78).

[26] Paradigmática dessa
dificuldade é a tradução do texto de Pappus feita por VER EECKE (1982, p. 477;
grifo acrescentado): “L’analyse est donc la voie qui part de la chose cherchée,
considérée comme étant concédée, pour aboutir, ao moyen des conséquences qui en
découlent, à la synthèse de ce qui a été concédé. En effet, supposant, dans
l’analyse, que la chose cherchée est obtenue, on considère ce qui dèrive de cette chose et ce dont elle est précédée, jusqu’à ce que, revenant
sur ses pas, on aboutisse à une chose déjà connue ou qui rentre dans l’ordre
des principes; et l’on nomme cette voie l’analyse en tant qu’elle constitue un
renversement de la solution”. Como diz TIMMERMANS (1995, p. 28), “Le mérite de
la traduction de Ver Eecke est de ne pas dissimuler les difficultés auxquelles
se heurte l’interprétation de ce texte”.

[27] A obra básica dessa quarta posição é a de HINTIKKA e REMES (1974). A exposição que segue
deve muito a ela, bem como a autores que seguiram a mesma perspectiva.

[28] Além desses e do próprio
Robinson, pode-se acrescentar ZEUTHEN (1902, p. 75-ss), CHERNISS (1951), MUGLER
(1948) e MAHONEY (1968). Alguns desses autores reconhecem, sem abandoná-la,
certas dificuldades dessa interpretação.
Cf. mais
adiante.

[29] Cf.,
como exemplo, a tradução de HEATH (1956, p. 138) da primeira frase sobre a
análise (início do segundo parágrafo, acima): “Analysis then takes that
which is sought as if it were admitted and passes from it through its
seccessive consequences to something which is admitted as the result of
synthesis …”.

[30] Assim, se K for
falsa, A também o será. E, sendo A falsa, não-A é
verdadeira. Podemos provar, pois, não-A, assumindo A e mostrando
que ela acarreta K, o que é um absurdo (pois K seria verdadeira e
falsa ao mesmo tempo). Logo, não-A é verdadeira.

[31] Segundo MAHONEY (1968, p. 327-29), o conceito de diorismos diz respeito,
primeiramente, à determinação da suficiência dos dados do problema com vistas à
sua solução. Nos Elementos, I. 22, por exemplo, a construção de um
triângulo qualquer, a partir de três retas dadas, só será possível sob a
condição de que duas delas, juntas, sempre serão maiores que a terceira. O
termo se refere, contudo, também às condições adicionais que devem ser preenchidas
para que um passo originalmente não-reversível se torne reversível na síntese.
Suponhamos, diz esse comentador (p. 328), que devamos construir uma linha x que satisfaça a equação ax-x²=b². Uma tal construção é possível
geometricamente, no plano real, somente se a área for menor ou igual
a ½a². Logo, o passo correspondente, na síntese, deve satisfazer essa
condição.

[32] Diz o autor (1932, p 47, apud SOUZA, 1985, p. 87): “os modernos historiadores da matemática (…)
compreenderam mal a frase ‘a sucessão dos passos subseqüentes’ (dia tôn
hexês akólouthon
), interpretando-a como ‘conseqüências’ lógicas (…). Eles
têm se esforçado, então, para mostrar como as premissas de uma demonstração
podem ser as conseqüências de uma conclusão. Tudo se esclarece quando vemos
o que Pappus diz que a mesma
seqüência de passos é seguida em ambos os processos
de forma ascendente na análise, da conseqüência
para as premissas implicadas nessa conseqüência, e de forma descendente na
síntese, quando os passos são revertidos para estruturar o teorema ou
demonstrar a construção ‘na ordem natural’ (lógica)”.

[33] Um dos principais pontos de
apoio da argumentação de Cornford é a íntima relação que estabelece entre o
movimento ascendente e descendente da dialética platônica e as duas etapas da
análise geométrica, a análise propriamente dita e a síntese, respectivamente.
Para um estudo sobre o tema, cf. também TIMMERMANS (1995, p. 9-31).

[34] ROBINSON (p. 11-12) fornece
como exemplo a Proposição 1, do Livro XIII dos Elementos. Fornece também
(p. 10) a seguinte seqüência: (1) 3x=4y; (2) 3x+y=5y; (3) 3x+2y=6y,
onde há conseqüência lógica em qualquer sentido dos passos.

[35] Esquematicamente, se a
análise apresentar a seqüência A
¬B¬C¬¬K, como defende Cornford, e se K for falso,
então não se poderia dizer que A seja igualmente falso. Mas é isso que
Pappus diz. Logo, Cornford deve estar errado.

[36] Diz ARISTÓTELES (1987, p. 46): “Com efeito, a
pessoa que delibera parece investigar e analisar da maneira que descrevemos,
como se analisasse uma construção geométrica (nem toda investigação é
deliberação: vejam-se, por exemplo, as investigações matemáticas; mas toda
deliberação é investigação); e o que vem em último lugar na ordem da análise
parece ser primeiro na ordem da geração. E se chegamos a uma impossibilidade,
renunciamos à busca: por exemplo, se precisamos de dinheiro e não há maneira de
consegui-lo; mas se uma coisa parece possível, tratamos de fazê-la”.

[37] Cf. acima a citação de Pappus nos locais onde há
colchetes.

[38] São utilizados, nesse sentido, termos comoapódeixis”, “hepómena” e “symbáienin
(HINTIKKA e REMES, 1974, p. 8-10; p. 14).

[39] Dito de outro modo, a
descrição geral do método, dada a tradução sugerida acima, apresenta claramente
a análise como procedimento ascendente, em contraposição à síntese descendente.
O problema é que, se isso for rigorosamente mantido, não haveria necessidade da
análise ser seguida pela síntese, como outros autores já haviam salientado.
Além disso, restaria a conciliar a parte final da descrição (aquela que trata
do resultado negativo da análise e que sempre favoreceu a concepção descendente)
com essa concepção. Como se não bastasse, a prática dos geômetras gregos,
regida por forças operacionais antes que teóricas, enfatiza o procedimento
descendente e o problema da reversibilidade (1974, p. 18). Assim, concluem os
autores, a interpretação da análise como movimento ascendente, apesar de
representar o “insight” pappusiano sob a perspectiva da “situação lógica” (p.
18), não pode ser “a história toda” (p. 17).

[40] É importante ter presente esse fato de que a
síntese é a segunda etapa do método (utilizado na resolução de uma proposição), para poder distingui-la da síntese enquanto procedimento de
exposição e de organização (e também de prova) dos resultados (de muitas proposições, isto é, de muitos problemas e teoremas), caracterizada, como diz
Descartes, “d’une longue suite de définitions, de demandes, d’axiomes, de
théorèmes et de problèmes” (IX, 122). Nesse último sentido, a síntese não é
vista como etapa do método de resolução, mas como método (axiomático ou
quase-axiomático) de apresentação e de prova das proposições. A síntese, no
século XVII, pode ter esse duplo sentido.

[41] Diz ROBINSON (p. 8):
“Segundo esse relato [defensor da análise ascendente], a análise não seria um
processo de dedução. (…) Na análise, a atividade da minha mente não é de demonstração,
mas de intuição. O geômetra que se utiliza da análise adivinha a
premissa (2) de que se segue a premissa (1)”. Cf. também as posições de Duhamel
e de Zeuthen, expostas acima. Uma idéia semelhante é defendida por P. TANNERY
(1915, p. 163-ss).

[42] HINTIKKA e REMES, em um artigo sobre o método de
análise e a lógica moderna (1983), mostram como alguns procedimentos lógicos
usados, hoje em dia, atuam indistintamente, sem preferência e sem prejuízo
lógicos e heurísticos, em qualquer direção, como seria o caso do método de
análise. Poder-se-ia citar um exemplo extremamente simples para mostrar isso,
ainda que não se deva talvez pensar o método de análise dentro de padrões
lógicos tão rígidos. Se um estudante desejasse provar a validade do argumento “
(P&Q)®(R&S),
~~P, Q |– S
”,
a seqüência poderia ser a dos sete passos dados mais abaixo. Na descoberta dos
passos intermediários (entre as premissas e a conclusão), esse estudante
poderia proceder tanto do fim para o começo, quanto do começo para o fim,
observando ao mesmo tempo os dois extremos. Assim, dadas as premissas, ele
poderia extrair imediatamente o passo 4 do passo 2. Mas poderia
se perguntar também: de onde “S” deveria ser derivado? E a resposta
seria: deve ser de “R
&S” (passo 6), único
“local” onde “S” aparece. A pergunta subseqüente seria: de onde poderia
provir “R
&S”? E a resposta seria: de “P&Q” (passo 5). Mas “P&Q” é dado, diria ele, pois “P
e “Q” são dados (passos 3 e 4). Logo, o estudante teve
êxito na prova de validade do argumento, tendo procedido ao mesmo tempo a
partir dos extremos, privilegiando ocasionalmente um ou outro dentre eles.

 

(P&Q) ® (R&S)
Premissa

~~P
Premissa

Q
Premissa

P
Passo 2, por eliminação da dupla
negação

P&Q
Passos 3 e 4, por introdução da conjunção

R&S
Passos 1 e 5, por modus ponens

S
Passo 6, por eliminação da conjunção

HEGENBERG,
em seu livro sobre cálculo sentencial (1972, p. 95; itálicos no original), diz
o seguinte sobre esse tipo de procedimento: “Por outro lado, não há um
procedimento efetivo (no mesmo sentido) que nos informe sobre a maneira de obter uma dedução. O processo de tabelas de valores é totalmente mecânico. Aqui,
porém, é preciso “imaginar”, “descobrir” um ponto de partida e um
encaminhamento da dedução. (…) Dois “atalhos” são úteis: 1) com as premissas,
obter um grande número de conseqüências usando os argumentos simples, já que
com elas se vislumbrará o que fazer e 2) caminhar de trás para diante, partindo
da conclusão e buscando ver de onde ela poderia ser obtida, retrocedendo até chegar
às premissas dadas, ou – o que é mais comum – até algumas das conseqüências
obtidas por força do uso do “atalho” 1)”. Estratégias de mesmo teor são dadas
por outros manuais de lógica. Cf., p. ex., COPI (1981, p. 268-69) e NOLT e
ROHARYN (1978, p. 129).

[43] Como diz HINTIKKA (1978, p. 80), os passos da
análise não são passos entre “verdades geométricas”, mas entre “objetos geométricos”; e, assim, a análise é uma “análise de configuração, não de
provas”.

[44] Essa é também a posição de
TIMMERMANS (p. 28-29): “notre interprétation (…) consiste à voir dans la méthode par hypothèse [analítico] une déduction ou un raisonnement préalable à l’ordonnancement de la réalité, visant précisément à découvrir quel est cet
ordre”. Não se pode conceder à síntese (isto é, à etapa sintética), entretanto,
a função de ordenar algo mais do que os passos da prova do teorema ou da
solução do problema. O ordenamento do conjunto das proposições, como é o caso
dos Elementos, caberia, sim, à síntese, entendida como método de exposição
e, como tal, distinto da etapa sintética do método de análise. Mas isso também
não pode ser equiparado simplesmente ao “ordenamento da realidade”. Em outras
palavras, o ordenamento de proposições ou de passos no interior de uma
proposição não pode ser confundido com o ordenamento de objetos reais ou em si
mesmos.

[45] É essa a principal razão
pela qual Viète contrapõe seu novo método de análise, a “logística especiosa”,
ao método de análise dos geômetras antigos e ao seu “prolongamento” aritmético
(Diofanto), a “logistice numerosa”. Cf. KLEIN (1968, p. 165-ss; 328).

[46] Pappus, diferentemente de Euclides, normalmente
omite a enunciação geral e expõe a proposição já instanciada. Mas isso em nada
altera essa característica da análise.

[47] A geometria cartesiana, entretanto, mesmo sendo
mais geral que a antiga, não dispensa a utilização da figura.

[48] PAPPUS utiliza no começo da
análise frases como “Qu’il en soit ainsi” (Livro IV, Prop. 4, p. 140), “Supose
the problem solved” (Livro VII, Prop. 105, p. 640, apud HEATH, p. 141),
“Que la chose soit obtenue” (Livro VII, Prop. 155, p. 705), etc.; em
ARQUIMEDES, por exemplo, na obra Sobre a esfera e o cilindro, também
encontramos expressões do tipo “suponha o problema resolvido” (Livro II, Prop
3-7, p. 437-ss), como também em outros autores. Descartes não diz outra coisa
na Geometria: “voulant résoudre quelque problème, on doit d’abord le
considérer comme déjà fait” (VI, 372); “premièrement, je suppose la chose déjà
faite” (382; 413). Mas já nas Regras esta idéia está presente: “todo o
artifício neste lugar consistirá, supondo conhecido o que é desconhecido, em
podermos assim propor uma via fácil e direta de investigação, mesmo nas
dificuldades mais embrulhadas” (X, 460, 20-22; 1985, p. 112).

[49] Visto que a análise considera todos os objetos
apresentados na configuração, inclusive a solução do problema ou a verdade do
teorema, como dados no interior da complexidade em questão, a etapa analítica
pode ser dita consistir no exame (ou análise) dessa complexidade em direção a
seus elementos componentes, até se encontrar alguma relação cuja verdade
independa da pressuposição de que “o problema esteja resolvido”. É assim que alguns
autores caracterizaram a etapa analítica como a via que consiste em ir do
complexo ao simples, como é o caso de Philoponus (HINTIKKA e REMES, p. 94-95).
Por razões semelhantes, a análise por vezes foi descrita como o movimento de
ida do efeito para a causa e a síntese, ao contrário, da causa para o efeito.
Os termos latinos “resolutio” e “compositio” adquiriram essa
acepção. Essa duas maneiras de descrever a etapa analítica e a sintética se
encontram também em Descartes.

[50] Em outras palavras, a singularidade da análise é
considerar o fim como dado e se perguntar de onde ele poderia proceder.
Ela tem uma “intenção”, uma “lógica” de proceder para trás. A estratégia de
resposta a essa pergunta, ela sim, poder variar em função de quais elementos
são disponíveis, da familiaridade que o analista tem para com eles, da
estrutura da problemática, das indicações ou sugestões fornecida pela própria
coisa procurada, da facilidade e necessidade de se ampliar, por meio de
construções, a configuração inicial, etc. Parece que é nesse sentido que
Aristóteles a compara, na Ética a Nicômaco, ao procedimento empregados
na deliberação ou numa ação prática. POLYA (1986, p. 106) nos fornece um
exemplo que ilustra essa comparação. Diz ele: “Um homem primitivo deseja
atravessar um riacho, mas não pode fazê-lo da maneira habitual porque o nível
da água subiu desde a véspera. Por isso, a travessia tornou-se o objeto de um
problema: “a travessia do riacho” é o x deste problema primário. O homem
pode lembrar-se de já ter atravessado algum outro riacho por uma árvore caída.
Ele procura ao redor uma árvore caída que lhe sirva, a qual se torna a sua nova
incógnita, o seu y. O homem não encontra nenhuma nessas condições.
Ser-lhe-ia possível fazer uma árvore cair atravessada sobre o riacho? Surge uma
grande idéia e uma nova incógnita: por que meios poderia o homem derrubar a
árvore por sobre o riacho? Essa seqüência de idéias deve chamar-se análise, se
aceitarmos a terminologia de Pappus. Se o homem primitivo conseguir concluir
sua análise, ele poderá ser o inventor da ponte e do machado. Qual é a síntese?
A tradução das idéias em ação. O ato final da síntese será a passagem do homem
por sobre a árvore através do riacho. Os nossos objetos comparecem na
análise e na síntese; eles exercitam o raciocínio do homem na análise e os seus
músculos na síntese. A análise consiste em pensamentos; a síntese, em atos. Há
uma outra diferença: as respectivas ordens são inversas. A travessia do riacho
é o primeiro desejo, do qual parte a análise, e é o último ato, com o que se
conclui a síntese”.

[51] Uma conclusão pode ser derivada de conjuntos
distintos de premissas. O exame exclusivo da sua estrutura pode conduzir a
premissas não dadas na enunciação da proposição. Isso poderia ocorrer no caso
do método de análise proceder exclusivamente a partir do procurado.

[52] Isso quer dizer que o método analítico não é
tampouco mecânico; como todo procedimento heurístico, ele não garante de
antemão o sucesso de sua atuação: podem não ser descobertas as relações
suficientes para a resolução de um problemas ou para a prova de um teorema.

[53] Essa é uma das razões que tornam improvável a autoria platônica do método, pois Hipócrates de Quios
é bem anterior a Platão.

[54] O problema pode ser
elaborado da seguinte maneira: dada uma linha qualquer A e, portanto,
também o cubo , pretende-se construir o cubo , que seja o
dobro do anterior. Hipócrates descobre que esse problema pode ser reduzido ao
da inserção de dois meios proporcionais entre duas linhas (em que uma é o dobro
da outra). Sejam A e B tais linhas e X e Y os meios
proporcionais, de tal forma que A:X=X:Y=Y:B. Compondo as razões (cf. Elementos,
V, Def. 14 (HEATH, 1952, p. 81)), temos: (A:X)³=(A:X)(X:Y)(Y:B), isto é, A³:X³=A:B. Assim, se B é o dobro de A, A³:X³=1:2.
Portanto, é o dobro de . Portanto, dadas duas linhas A e B (sendo B=2A), se inserirmos dois meios proporcionais X e Y, será o dobro de . Sobre o problema da duplicação
do cubo, confira, entre outros, KNORR (1986, p. 17-24), de onde a formulação
acima foi extraída.

[55] O procedimento de redução, nesse exemplo
específico de Hipócrates, estabelece a equivalência dos dois problemas, no
sentido de que, estando um resolvido, o outro também estará. Entretanto, em
princípio, poder-se-ia proceder à “redução” de um problema a outro, mesmo que
este último não solucionasse o primeiro, mas se constituísse em um avanço
considerável ou em uma de suas partes importantes. Como tal, o procedimento de
redução (sentido forte) poderia ter-se desenvolvido juntamente com o
procedimento de divisão de um problema em subproblemas ou de recondução do
problema original a um problema relacionado (sentido fraco). Seja como for,
muitos praticantes da análise (dentre os quais Descartes) apresentam a
“técnica” de subdividir o problema e de reconduzi-lo a outro. Tal é o caso de
Ibrahim Ibn Sinan em seu Tratado sobre o método da análise e da síntese (BELLOSTA-BAYLET,
1994). Há que assinalar as “técnicas da análise” propostas por Ibn Sinan: “subdividir
o problema”; “utilizar todas as condições e as hipóteses do problema”; “estudar
todas as configurações possíveis” (apud BELLOSTA-BAYLET, XXXII-ss; 47-ss).
Não poderiam ser chamadas tais técnicas de cartesianas?

[56] Esse exemplo é dado por HEATH (1956, p. 141-42) e
reproduzido por HINTIKKA e REMES (1983, p. 31-2). Segue-se aqui a tradução
desse último ensaio, com pequenas alterações e a introdução dos passos. O
exemplo é examinado também por SOUZA (168-74; 197-207). Outros exemplos são
encontrados em Pappus, tais como as Proposições 54 a 58 do Livro III e as
Proposições 4, 7 a 10, 12, 31, 33, 37, 40, 44 do Livro IV, além das obras
citadas por ele no início do Livro VII, conhecidas como a “Coleção analítica dos Antigos” (VER EECKE, p. 479, n. 1), dentre as quais podem-se citar os Dados e os Porismas de Euclides, a Secção de uma razão, as Cônicas e as Inclinações de Apolônio. De Arquimedes, pode-se citar as Proposições
1 e 3 a 7 do Livro II do tratado Sobre a esfera e o cilindro (HEATH,
1952, p. 434, 437-443).

[57] Figura extraída de HEATH (1956, p. 142).

[58] Supor o problema resolvido significa supor que,
potencialmente, estão presentes todos os elementos mínimos necessários. Aqueles
que não são originariamente dados na configuração inicial são supostos como
passíveis de serem legitimamente construídos ou adicionados. Assim, a
configuração pode ser considerada suficientemente completa.

[59] Construção auxiliar,
responsável pela introdução de um novo objeto geométrico, a tangente FA.
O ponto A permanece indeterminado e pode variar em função de um ponto F qualquer que se tome sobre o prolongamento de ED.

[60] Passo dedutivo, baseado
evidentemente no zetoumenon. Cf. Elementos I, 29 (HEATH, 1952, p.
18-19).

[61] Passo dedutivo, baseado na
construção auxiliar e no dedomena, mas não no zetoumenon. Os
ângulos formados por uma tangente de um círculo e uma reta que o corta são
iguais aos ângulos formados nos segmentos alternos do círculo; no caso, o âng. FAB (ou FAE) é igual ao âng. ACB (ou ACD). Cf. El. III,
32 (HEATH, 1952, p. 60-61).

[62] Passo dedutivo, baseado em
parte no zetoumenon (passo 1). Introdução de um novo objeto geométrico,
o círculo ABDF, que não aparece na figura (não confundi-lo, pois, com o
círculo ABC). Dado que o âng. FAE (= âng. CDE, visto que
ambos são iguais ao âng. ACB) e o âng. BDF são, somados, iguais a
dois ângulos retos e fazem parte do quadrilátero ABDF (os outros dois
ângulos sendo, pois, também iguais a dois retos), os quatro pontos estão sobre
um círculo. Cf. El. III, 22 (HEATH, 1952, p. 55).

[63] Passo dedutivo, em parte
baseado no zetoumenon (passo 3). Se duas retas quaisquer (EA e EF,
p. ex.), traçadas a partir de um ponto exterior (ponto E) a um círculo
(no caso, o círculo ABDF), cortarem-no, o retângulo formado pelos dois
segmentos de uma delas (os segmentos EA e EB) é igual ao
retângulo formado pelos dois segmentos da outra (os segmentos EF e ED),
uma vez que cada um dos retângulos é igual ao quadrado da tangente ao círculo,
traçada a partir desse mesmo ponto. Cf. El. III, 36 (HEATH, p. 64-66).

[64] Passo dedutivo, baseado
somente no dedomena e na construção da tangente ao círculo ABC a
partir de E. Como o círculo ABC é dado em posição e o ponto E é dado, a tangente é dada (ela não se encontra desenhada e não deve ser
confundida com a tangente FA). Portanto, o retângulo EA, EB é
dado (mas não os pontos A e B). Cf. nota anterior e também Dados,
91 (EUCLIDES, 1966, p. 597-98) e El. III, 36 (HEATH, 1952, p. 64-66).
Esse passo (como todos os outros da resolução) é independente da transformação;
ele se baseia exclusivamente no fato de que o ponto E e o círculo ABC são efetivamente dados.

[65] Passo dedutivo. Pode ser,
pois, construído um retângulo EF, ED igual ao retângulo EA, EB.

[66] Cf. Dados, 57
(EUCLIDES, 1966, p. 563-64). Passo dedutivo.

[67] Cf. Dados, 27 (p.
536). Passo dedutivo.

[68] Cf. Dados, 90 (p.
596-97). Passo dedutivo.

[69] Cf. Dados, 27 (p.
536). Passo dedutivo.

[70] Cf. Dados, 26 (p.
536). Passo dedutivo.

[71] Cf. Dados,
25 (p. 535). Passo dedutivo

[72] Passo dedutivo.

[73] É isso o que diz a
enunciação da proposição. Todos os passos dessa etapa são efetivamente
construídos, a partir dos elementos fornecidos pelo dedomena ou de
outros dele decorrentes. Nada na síntese pode depender do zetoumenon.

[74] A tangente não é fornecida
na figura. Ela pode ser construída a partir do círculo e do ponto E. Cf. Dados, 91 e notas anteriores.

[75] Assim, estando o ponto F determinado, a
tangente pode ser traçada e o ponto A determinado.

[76] Dados A e E, o ponto B é
determinado; logo, o ponto C também, pois D é dado. Pode-se,
assim, traçar AC.

[77] Em outras palavras, os dois retângulos são
iguais, pois ambos são iguais ao quadrado da tangente (um por construção e o
outro por El. III, 36).

[78] Tais pontos formam um círculo por uma razão
distinta daquela afirmada no passo 4 da transformação. Aqui é a
igualdade dos retângulos que garante a existência do círculo ABDF. Donde
se seguirá que, como no quadrilátero inscrito ABDF os ângulos FAB e BDF formam dois retos e como os ângulos BDF e BDE são
também iguais a dois retos, os ângulos FAB (ou FAE) e BDE (ou CDE) são iguais. Esses passos da transformação são invertidos
na demonstração.

[79] Único passo da transformação não
invertido, exatamente por não depender, mesmo lá, do zetoumenon.

[80] Cf. El. I, 28 (HEATH,
1952, p. 18).

[81] Assim, Descartes descobre no interior do
procedimento analítico das Meditações o axioma “para pensar é preciso
existir”, bem como percebe a necessidade de “aplicar” o princípio de
causalidade à realidade objetiva da idéia de Deus.

[82] Isso garante que um problema se liga a outros
problemas, que eles não se encontram isolados, dando origem a uma disciplina.

[83] Euclides não apresenta a análise desse teorema,
como de nenhuma proposição dos Elementos. Entretanto, mesmo na etapa
sintética, pode-se perceber que sua prova é elaborada tendo em conta o que a
proposição fornece e o que pode ser imediatamente acrescentado à configuração
em exame. O autor pede que se tome um triângulo qualquer ABC, que se prolongue
um de seus lados, BC, até D e que seja traçada uma linha CE,
paralela à AB. Imediatamente se “vê” que os ângulos internos do
triângulo são iguais a dois retos, visto que os ângulos BCA+ACE(=BAC)+ECD(=ABC) = 180º.


A E

B C D

[84] É interessante notar que Euclides escreveu uma obra chamada Dados, obra
que Pappus inclui no conjunto das que nomeia de “Tesouro da Análise”, cuja
função é mostrar que, se algumas coisas são dadas, outras também o são. A
segunda parte da análise (a resolução) utiliza enormemente essa obra, pois a
função dessa etapa é exatamente mostrar que algumas coisas podem ser
determinadas a partir de outras.

[85] Contrariamente aos árabes dos séculos X e XI, como Ibn Sinan, em seu Tratado
sobre o método da análise e da síntese
(BELLOSTA-BAYLET, 1994), e Ibn
al-Haytham, em A análise e a síntese (RASHED, 1991a; 1991b), e a
matemáticos imediatamente anteriores à época moderna, como VIÈTE, em sua sua Introdução à arte analítica (1970, p. 1; KLEIN, 1992, p. 320), que são fiéis aos geômetras antigos. Sobre a
história do método, cf. N. W. GILBERT (1960) e HINTIKKA e REMES (1974, caps. 8
e 9).

[86] É difícil saber até que ponto Descartes não tem influenciado essa concepção de
síntese, ao caracterizá-la como o método que “se sert d’une longue suite de
définitions, de demandes, d’axiomes, de théorèmes et de problèmes” (VII, 156,
9-11; IX, 122). Seja como for, são os próprios autores das Segundas objeções (VII, 128, 13-19; IX, 101) que solicitam a Descartes que faça uma exposição “more
geometrico
” de suas conclusões, entendendo por esse procedimento, como
Espinosa e Pascal, aquele que demonstra a partir de definições, postulados e
axiomas, a exemplo de Euclides.

[87] Diz Descartes: “os antigos geômetras fizeram uso
de uma espécie de análise, que estendiam à resolução de todos os problemas,
ainda que não a tenham transmitido à posteridade. E, em nossa época, floresce
um gênero de aritmética, que se chama álgebra, que permite fazer no tocante aos
números o que os antigos faziam em relação às figuras. Essas duas disciplinas
não passam de frutos espontâneos dos princípios inatos de nosso método” (X,
373, 13-20; 1985, p. 25). E, mais adiante:
“Na verdade, parece-me que alguns vestígios desta verdadeira Matemática surgem
ainda em Pappus e Diofanto, os quais, sem serem dos primeiros tempos, viveram
no entanto muitos séculos antes da nossa era. E não me custa acreditar que,
ulteriormente, os próprios autores a fizeram desaparecer por uma espécie de
astúcia perniciosa. (…) Houve, enfim, alguns homens muito engenhosos que se
esforçaram no nosso século por ressuscitar a mesma arte, pois a que se designa
com o bárbaro nome de Álgebra não parece ser outra coisa, contanto que apenas
seja de tal modo liberta dos múltiplos números e inexplicáveis figuras que a
complicam, que não mais lhe falte aquele grau de perspicácia e facilidade
extremas que, por suposição nossa, devem existir na verdadeira Matemática” (X,
376, 21-26; 377, 2-9; 1985, p. 27-28).

[88] Afinal, como diz o Discurso, Descartes pretende tomar de “empréstimo o
melhor da Análise geométrica e da Álgebra” e corrigir “todos os defeitos de uma
pela outra” (VI, 20, 22-24; 1993, p. 40).

[89] Viète (1970, p. 4), por exemplo, apresenta uma tabela de correspondência entre
os problemas por Diofanto e por ele examinados.

[90] Essa obra encontra-se traduzida para o francês por VER EECKE (1959); para o
inglês, existe a “tradução”/adaptação em notação moderna, feita por HEATH
(1964).

[91] Sua marca distintiva é a letra V (certamente o
sigma final da palavra grega). Traduzida por Ver Eecke pelo termo “arithme”,
corresponde ao x dos algebristas (e à res, à cosa ou coss,
de onde surgiu a “linguagem” cóssica, conhecida ainda por Descartes).

[92] DIOFANTO (1959, p. 8) afirma, por exemplo: “Aplique cela avec adresse aux
données des propositions, et, autant que possible, jusqu’à ce qu’il reste une
seule expression égale à une seule expression. Je te montrarai plus tard
comment l’on résut le cas où il reste deux expressions égales à une seule”. A
“igualação” de expressões, simples ou não, corresponde à formação de uma
equação.

[93] Essa forma de apresentação da solução dos problemas tratados por Diofanto é
extraída de Ver Eecke, em suas notas que acompanham a tradução do texto.

[94] Se se tiver à mão uma equação ou a noção de equação, não é preciso afirmar a
pressuposição de que o problema esteja resolvido, como faziam os geômetras. A
própria equação, naturalmente, estabelece isso, por exemplo, quando afirmamos
que x²-4x+4=0 ou que x²=ax.

[95] O próximo passo é dado por Descartes: essa maneira de proceder não se restringe
à matemática, ainda que essa ciência é privilegiada no que se refere à sua
manifestação; ela é manifestação da própria racionalidade humana.

[96] Publicada pela primeira vez em 1591, foi traduzida para o francês, em 1630, por
Vaulézard, juntamente com os Cinco livros dos zetéticos. Cf. VAULÉZARD
(1986, p. 7-66). Uma tradução inglesa se encontra em apêndice a KLEIN (1968, p.
313-353). A Obra matemática de Viète, publicada em 1646, foi reeditada
em 1970.

[97] É assim que VIÈTE (1970, p. 12; destaques do próprio autor) finaliza sua obra:
“Denique fastuosum problema problematum ars Analytice, triplicem Zetetices,
Poristices et Exegetices formam tandem aiduta, iure sibi adrogat, Quod est,
NULLUM NON PROBLEMA SOLVERE”.

[98] BOYER (1976, p. 223-24) apresenta de
forma adequada essa idéia resgatada por Viète do método de análise, partilhada
por geômetras e “aritméticos”, ao redor da importância e do papel da “incógnita”.
Diz ele: “Viète (…) não gostava da palavra árabe “álgebra”. Ao procurar uma
outra palavra, Viète observou que em problemas envolvendo a “cosa” ou
quantidade incógnita, geralmente se procede do modo que Pappus e os antigos
haviam descrito como análise. Isto é, em vez de raciocinar a partir do que é
conhecido para o que se deve demonstrar, os algebristas invariavelmente
raciocinavam a partir da hipótese que a incógnita foi dada e deduziam uma
conclusão necessária da qual a incógnita pode ser determinada. Em símbolos
modernos, se quisermos resolver x²-3x+2=0, por exemplo, partimos da premissa de que existe
um valor de x que satisfaz à equação; dessa hipótese tiramos a conclusão
necessária que (x-2)(x-1)=0 de modo que está satisfeita ou x-2=0 ou x-1=0 (ou ambas as coisas), logo que necessariamente x é 2 ou 1. No entanto, isso não significa que um, ou ambos, desses números
satisfazem à equação a menos que se possa inverter os passos do desenvolvimento
do raciocínio. Isto é, a análise deve ser seguida de demonstração sintética”.

[99] Diz VIÈTE (p. 11), no cap. VIII, 2: “Itaque Aequatio est magnitudinis incertae
cum certa comparatio”.

[100] Essa idéia é também de Descartes. A Regra XIV afirma que, “em todo raciocínio,
é apenas por comparação (per compariomem) que conhecemos a verdade de
uma maneira precisa”, que todo conhecimento, além da simples intuição, só pode
ser adquirido “pela comparação (per compariomem) de dois ou mais objetos
entre si” (X, 439, 19-21; 440, 1-5).

[101] Cf. o cap. V, n.º 5 (1970, p. 8).

[102] A lei da homogeneidade, a “suprema e
perpétua lei das igualdades e proporções” (1970, p. 2), é apresentada no cap.
III.
Uma equação quadrática como bx²+dx=z é escrita assim: “B in A Quadratum, plus D plano in A, aequari Z solido”, de sorte que “somente magnitudes homogêneas podem ser comparadas entre
si (Homogenea homogeneis comparari)”. Assim, se A (ou x) e B (ou b) são segmentos de linha, D deve ser uma área (plano) e Z um volume (sólido), de forma que cada uma das três partes da equação (
bx²; dx; z) é um sólido. Um outro exemplo pode ser dado, pelo qual é
possível perceber a dificuldade de Viète no uso de uma simbologia adequada.
No caso de uma equação como: a²/b+z = (a²+zb)/b, Viète assim se expressava (KLEIN, 1968, p. 338): “And thus, in
the case of additions, let it be requered to add Z to A plane/B.
The sum will be (A plane)+(Z in B)”.

B

[103] Esse tema é tratado no cap. IV da obra supracitada. Diz VIÈTE (1970, p. 4;
1968, p. 328; 1986, p. 30): “A logistice numerosa opera com números; a logistice
speciosa
opera com espécies ou formas das coisas, como, por exemplo, com as
letras do alfabeto”.

[104] Não se pode deixar de salientar o avanço que houve, nessa época, no que diz
respeito à elaboração de regras algébricas e de manipulação das equações.
Descartes oferece no Livro III da Geometria um exemplo desse esforço,
onde trata, por exemplo, da relação entre o grau de uma equação e o número de
raízes dessa mesma equação (regra já conhecida por alguns como Cardan, Girard e
Harriot), da divisão de polinômios, da determinação do número de raízes
“verdadeiras” e “falsas”, de regras de simplificação e de fatoração. Tudo isso
dá dinamicidade e agilidade à álgebra, enquanto o aperfeiçoamento do simbolismo
dá mais generalidade e “abstratidade”.

[105] Cf. o texto, na tradução de KLEIN (1968, p. 320): “In mathematics
there is a certain way of seeking the truth, a way wich Plato is said first to
have discovered, and which was called ‘analysis’ by Theon and was definided by
him as ‘taking the thing sought as granted and prodeeding by means of what
follows to a truth that is uncontested’; so, on the other hand, ‘synthesis’ is
‘taking the thing that is granted and proceeding by means of what follows to
the conclusion and comprehension of the thing sought’”. Cf. também VIÈTE (1970,
p. 1) e VAULÉZARD (1986, p. 13).

[106] Continua ele (KLEIN, 1968, p. 320-21): “And although the ancients
set forth a twofold analysis, the zetetic (
ζητητική) and the poristic (ποριστική), to which Theon’s definition prticularly refers, it is
nevertheless fitting that there be established also a third kind, which may be
called rhetic or exegetic (
ρητική η εξηγητική), so that there is a zetetic art by which is found the equation or
proportion between the magnitude that is being sought and those that are given,
a poristic art by which from the equation or proportion the thuth of the theorem
set up is investigated, and an exegetic art by which from the equation set up
or the proportion there is produced the magnitude itself which is being sought.
And thus, the whole threefold analytical art, claming for itself this office,
may be defined as the science of right finding in mathematics”.
Cf.
VIÈTE (1970, p. 1) e VAULÉZARD (1986, p. 13).

[107] Segundo FERRIER (1980, p. 138), Viète não está opondo, com suas três espécies de
análise, procedimentos diferentes e aplicáveis a casos distintos, mas
procedimentos complementares correspondentes às várias etapas do método
tradicional de análise. Segundo esse intérprete, a análise zetética corresponde
à parte da análise dos antigos chamada de transformação ou análise
própria
, enquanto a porística corresponde à resolução e a rética ou
exegética, à síntese.

[108] Esse é o
problema tratado com maior extensão na obra. VUILLEMIN (1960, p. 99) o considera
como o problema central da obra: “toute la Géométrie de Descartes est
destinée à résoudre, par une méthode nouvelle, analytique et non plus
synthétique, ainsi qu’à généraliser le problème de Pappus”.

[109] Publicada em 1637, a obra tem como título: “Discours de la méthode pour
bien conduire la raison et chercher la vérité dans les sciences. Plus la Dioptrique,
les Météores et la Géométrie, qui sont des essais de cette
méthode” (VI, XIII). A Geometria é o terceiro dos ensaios (VI, 367-485).

[110] Cf. algumas passagens da Segunda Parte do Discurso: “Essas longas
cadeias de razões, todas simples e fáceis, de que os geômetras costumam
servir-se para chegar às mais difíceis demonstrações, haviam-me dado ocasião de
imaginar que todas as coisas possíveis de cair sob o conhecimento dos homens
seguem-se umas às outras da mesma maneira e que, contanto que nos abstenhamos
somente de aceitar por verdadeira qualquer que não o seja, e que guardemos
sempre a ordem necessária para deduzi-las umas das outras, não pode haver
quaisquer tão afastadas a que não se chegue por fim, nem tão ocultas que não se
descubram”. E continua o autor: “Mas não foi meu intuito, para tanto, procurar
aprender todas essas ciências particulares que se chamam comumente matemáticas;
e, vendo que, embora seus objetos sejam diferentes, não deixam de concordar
todas, pelo fato de não conferirem nesses objetos senão as diversas ações ou
proporções que neles se encontram, pensei que valia mais examinar somente essas
proporções em geral”. Por fim: “Mas o que me contentava mais nesse método era o
fato de que, por ele, estava seguro de usar em tudo minha razão, se não
perfeitamente, ao menos o melhor que eu pudesse; além disso, sentia, ao praticá-lo,
que meu espírito se acostumava pouco a pouco a conceber mais nítida e
distintamente seus objetos, e que, não o tendo submetido a qualquer matéria
particular, prometia a mim mesmo aplicá-lo tão utilmente às dificuldades das
outras ciências como o fizera com as da Álgebra” (VI, 19, 6-17; 19, 29-20, 6;
21, 18-27).

[111] Os
títulos e o conteúdo dessas seções são extremamente significativos pela clareza
com que resumem as duas etapas do método. Cf., respectivamente, “Comment il
faut venir aux équations qui servent à résoudre les problèmes” (VI, 372,
10-374, 19) e “Comment ils se résolvent” (VI, 374, 28-376, 29).

[112] Bos, em uma rápida referência feita em sua
comunicação (oral) apresentada por ocasião do XXVI Congresso da Associação das
Sociedades de Filosofia de Língua Francesa, evento destinado à Celebração do
quarto centenário do nascimento de Descartes e realizado em Paris de 30/08 a
3/09 de 1996, é o único intérprete a nomear da mesma forma essas etapas. Outros
autores examinam as seções aqui citadas e a metodologia nelas apresentada, mas
não nomeiam as etapas como se faz aqui.

[113] As
principais são as seguintes: a primeira é porque o método de Descartes
apresenta “semelhanças estruturais” com o método de análise-e-síntese,
praticada pelos (e a partir dos) gregos; a segunda se encontra em várias cartas
de Descartes e na própria Geometria, onde são oferecidas evidências a respeito
destas duas etapas e desta nomeação.

[114] Cf. o
texto: “Ainsi, voulant résoudre quelque problème, on doit d’abord le considérer
comme déjà fait” (372, 10-11).

[115] A
configuração pode ser dita completa, não no sentido de que não haverá
necessidade de introduzir outros objetos geométricos (por meio de construções,
como faziam os antigos, ou por meio de outros recursos), mas na medida em que
os objetos enunciados no problema são todos considerados como dados, tanto os
conhecidos quanto os desconhecidos, bem como outros necessários à resolução do
problema.

[116] Pappus,
como foi visto acima, atribui à síntese certa naturalidade, inexistente na
análise.

[117] Isto
significa que, sob o ponto de vista do cálculo e da resolução do problema, não
há distinção entre os objetos conhecidos e os desconhecidos. A distinção entre
tais objetos será garantida pela escritura e pelo simbolismo que Descartes
utilizará.

[118] A etapa analítica em
Descartes, com a introdução da notação algébrica e de suas conseqüências, perde
sua dimensão antinatural como procedimento contra a corrente, em contraposição
à etapa sintética. Serão as várias possibilidades da resolução do problema que
são ditas mais ou menos naturais, em função de sua simplicidade ou não.

[119] Cf. o
texto: “Ainsi, voulant résoudre quelque problème, on doit d’abord le considérer
comme déjà fait, et donner des noms a toutes les lignes qui semblent
nécessaires pour le construire, aussi bien a celles qui sont inconnues qu’aux
autres” (372, 10-14).

[120] A
análise não altera, portanto, o objetivo final ou a natureza do problema:
determinar o que é desconhecido a partir do que é dado.

[121] Ela
também elimina toda consideração sobre a problemática da “direção da análise”,
que poderia existir na geometria grega. Esse problema nos antigos, como se viu,
é menos real do que tradicionalmente se pensava. Mesmo assim, persistiam a
questão da convertibilidade de alguns dos passos da análise e a da existência
da resolução em contraposição à transformação, ambas partes da
etapa analítica, mas com função distinta.

[122] As Regras apresentam como razões para a utilização do simbolismo, além
da sua simplicidade e pureza, a economia das palavras e o auxílio à memória que
representa. Cf. a Regra XVI (X, 454-ss).

[123] Como diz o Discurso: “a primeira [a análise dos antigos] permanece
sempre tão adstrita à consideração das figuras, que não pode exercitar o
entendimento sem fatigar muito a imaginação” (VI, 17, 30-18, 1; 1983, p. 37)

[124] Diz
Descartes: “Puis, sans considérer aucune différence entre ces lignes connues et
inconnues, on doit parcourir la difficulté selon l’ordre qui montre, le plus
naturellement de tout, en quelle sorte elles dépendent mutuellement les unes
des autres, jusque à ce qu’on ait trouvé moyen d’exprimer une même quantité en
deux façons: ce qui se nomme une Equation, car les termes de l’une de ces deux
façons sont égaux à ceux de l’autre” (372, 14-22).

[125] Afirma a
obra: “Et on doit trouver autant de telles équations qu’on a supposé de lignes
que étaient inconnues. Ou bien, s’il ne s’en trouve pas tant, et que,
nonobstant, on n’omet rien de ce qui est désiré en la question, cela témoigne
qu’elle n’est pas entièrement déterminée; et lors, on peut prendre à
description des lignes connues, pour tout les inconnues auxquelles ne corresponde
aucune équation” (372, 22-373, 2).

[126] Cf. notas anteriores.

[127] Há, entretanto, um perigo aqui, segundo o
que diz o início do Livro III da obra: alguns procedimentos (decorrentes dos
caminhos escolhidos) podem não ser adequados metodologicamente, desde que
utilizem meios mais complexos dos exigidos, isto é, objetos geométricos
(curvas) de grau superior ao mínimo necessário: na resolução de qualquer
problema, há que se utilizar os meios mais simples possíveis. Cf. as duas
primeiras seções do Livro III (442-44).

[128] Ela, pois, somada às etapas anteriores, se assemelha ao que Descartes
entenderá, nas Regras, por exame completo e ordenado da questão, bem
como pelo que entende, pelo menos em parte, por enumeração.

[129] Diz
Descartes: “Après cela, s’il en reste encore plusieurs, il se faut servir par
ordre de chacune des équations qui restent aussi, soit en la considérant tout
seule, soit en la considérant avec les autres, pour expliques chacune de ces
lignes inconnues, et faire ainsi, en les démêlant, qu’il n’en demeure qu’une
seule, égale à quelque autre qui soit connue, ou bien dont le carré, ou le
cube, ou le carré de carré, ou le sursolide, ou le carré de cube, etc., soit
égal à ce quise produit par l’addition, ou soustraction, de deux ou plusieurs
autres quantités, dont l’une soit connue, et les autres soient composées de
quelques moyennes proportionnelles entre l’unité et ce carré, ou cube, ou carré
de carré, etc., multipliées par d’autres connues. (…) Et on peut toujours
réduire ainsi toutes les quantités inconnues à une seule, lorsque le problème
se peut construire par des cercles et des lignes droites, ou aussi par des
sections coniques, ou même par quelque autre ligne qui ne soit que d’un ou deux
degrés plus composé. Mais je ne m’arrête point à expliquer ceci en détail, à
cause que je vous ôterais le plaisir de l’apprendre de vous même, et l’utilité
de cultiver votre esprit en vous y exerçant, qui est, à mon avis, la principale
qu’on puisse tirer de cette science. Aussi que je n’y remarqué rien de si
difficile, que ceux qui seront un peu versés en la Géométrie commune et en la
Algèbre, et qui prendront garde à tout ce qui est en ce traité, ne puissente
trouver. C’est pourquoi je me contenterai ici de vous avertir que, pourvu qu’en
démêlant ces équations on ne manque point à se servir de toutes les divisions
qui sont possibles, on aura infailliblement le plus simples termes auxquels la
question puisse être réduite” (373, 2-15; 373, 28-374, 19).

[130] Cf.: “et faire ainsi, en les démêlant, qu’il n’en demeure qu’une seule” (373,
7-8).

[131] Diz
Descartes na pequena seção intitulada “Quels sont les problèmes plans”, que se
encontra entre as duas seções que estão sendo examinadas aqui: “Et que, si elle
peut être résolue par la Géométrie ordinaire, c’est à dire en ne se servant que
de lignes droites et circulaires tracées sur une superficie plate, lorsque la
dernière Equation aura entièrement démêlée, il n’y restera, tout au plus, qu’un
carré inconnu égal à ce qui se produit de l’addition, ou soustraction, de la
racine multipliée par quelque quantité connue, et de quelque autre quantité
aussi connue” (374, 20-26).

[132] Figura extraída da Geometria (VI, 375).

[133] Como
Descartes está fazendo geometria, ele não considera soluções aritméticas. Em outros
termos, a obra de Descartes não é um tratado sobre equações algébricas e de sua
resolução. As equações fazem parte do processo de resolução de problemas geométricos,
isto é, elas têm sua origem e sentido dentro de tais problemas e, neste
sentido, são mais meio que fim.

[134] Diz
Descartes na seção
"De
quelles lignes courbes on peut se servir en la construction de chaque
problème": "Encore que toutes les lignes courbes, qui peuvent être
décrites par quelque mouvement régulier, doivent être reçues en la Géométrie,
ce n’est pas a dire qu’il soit permis de se servir indifféremment de la
première qui se rencontre, pour la construction de chaque problème; mais il
faut avoir soin de choisir toujours la plus simple par laquelle il soit possible
de le résoudre. Et même, il est a remarquer que, par les plus simples, on ne
doit pas seulement entendre celles qui peuvent le plus aisément être décrites,
ni celles qui rendent la construction ou la démonstration du Problème proposé
plus facile, mais principalement celles qui sont du plus simples genre qui
puisse a déterminer la quantité qui est cherchée" (442, 4-17).

[135] As
razões pelas quais o autor omite uma ou outra etapa de seu método são várias e
de ordem diversa. A primeira, evidentemente, é decorrente da personalidade de
seu autor. Ele detesta ser prolixo e ser excessivamente detalhado, quando não é
fundamental. Além disso, ele não é amante da formalidade e, portanto, da
rigidez expositiva e da estética daí decorrente. Ao contrário, o que importa é
o conteúdo, e a forma é que é sacrificada em função dele. Assim, Descartes é o
mais breve possível (principalmente em matemática) e funde etapas quando é
possível. Uma segunda razão é que Descartes não gosta de tudo ensinar ou expor.
Isto também está ligado à sua personalidade, mas principalmente à sua concepção
de método: dado que ele consiste mais na prática e na hábil manipulação do
conteúdo que na apreensão de algumas regras fixas que se aplique a um conteúdo
sempre diferente, o melhor a fazer é exercitar “nos neuveux”. Uma terceira
razão é que Descartes trata os problemas geométricos em sua maior generalidade.
Isto significa que os problemas têm soluções semelhantes ou podem se submeter a
um tratamento comum ou mais geral. Uma quarta razão é que Descartes fornece uma
classificação dos problemas (e soluções) e, portanto, já sabe de antemão qual é
a solução de uma equação de uma determinado grau (ou pelo menos quais meios
deve utilizar). A quinta e última razão é que a introdução da álgebra na
geometria libera esta última do problema da “reversibilidade dos passos da
análise”, como existia na geometria antiga.

[136] É necessário, para finalizar essa
apresentação, ter em mente também alguns procedimentos que são pressupostos ou
ao menos vêm ligados à metodologia e que são fundamentais para a efetiva
exploração de todas as potencialidades do método aqui exposto. Estes
procedimentos apresentados ao longo da Geometria são notadamente de dois
tipos: o primeiro consiste na introdução e na interpretação das operações
aritméticas na geometria; o segundo diz respeito à apresentação de regras de
manipulação e de operacionalização algébricas, enfim, à exposição de uma teoria
das equações.

[137] Descartes transcreve o problema (VI,
377-79),
conforme PAPPUS o apresentou no Livro VII de sua obra (1982, p. 506-10), segundo a tradução latina de COMMANDINO (1588). Uma tradução francesa
desse trecho da obra de Pappus (juntamente com um comentário) é dada por Paul
Tannery no final do respectivo volume da obra cartesiana (VI, 721-25). Um outro
problema do mesmo livro da obra de PAPPUS (Prop. 72, p. 606-08) é examinado por
Descartes no Livro III da Geometria (VI, 462-63). É exatamente no início
desse Livro VII que PAPPUS apresenta (p. 477-78) sua descrição sobre o método
de análise (e síntese). Essa é a prova material de que Descartes não somente
conheceu, mas manuseou e estudou a obra pappusiana.

[138] Descartes critica, em várias
ocasiões, itens característicos dos procedimentos empregados pelos antigos. Cf.
o texto que antecede a exposição do problema de Pappus: “Ce que je ne crois pas que les anciens aient
remarqué; car, autrement, ils n’eussent pas pris la peine d’en écrire tant de
gros livres, où le seul ordre de leurs propositions nous fait connaître qu’ils
n’ont point eu la vraie méthode pour les trouver toutes, mais qu’ils ont
seulement ramassé celles qu’ils ont rencontrées” (376, 23-28).
Isso não
significa, entretanto, que o filósofo esteja criticando o método de análise dos
geômetras, mas as técnicas utilizadas por eles na resolução dos problemas, a
falta de generalidade e de ordem, enfim, a não-percepção de que os problemas de
um mesmo nível podem ser resolvidos pelo meio dos mesmos instrumentos. Assim,
diz ele, “les problèmes de la géométrie ordinaire [podem ser resolvidos, todos
eles], sans faire autre chose que le peu qui est compris dans les quatre
figures que j’ai expliquées. Ce que je ne
crois pas que les anciens aient remarqué
” (376, 20-23). Mais adiante,
ele apresenta outra crítica, pela não-utilização de meios algébricos na
resolução dos problemas geométricos: “Ou je
vous prie de remarquer, en passant, que le scrupule que faisaient les anciens
d’user des termes de l’arithmétique en la géométrie, qui ne pouvait procéder
que de ce qu’ils ne voyaient pas assez clairement leur rapport, causait
beaucoup d’obscurité et d’embarras en la façon dont ils s’expliquaient” (378,
23-28).

[139] A frase canônica do começo da etapa analítica se faz presente: “Premièrement,
je supose la chose comme déjà faite” (382,
18-19).

[140] Diz
Descartes: “pour me démêler de la confusion de toutes ces lignes” (382, 19-383,
1).

[141] Isto é, bcfgx² = (bcfgl+bcgz–cfgz-dez²)x
+ (cfglz+cgz²-dekz²-ez³)
.

[142] Figura extraída da Geometria (VI, 382).

[143] Pode
acontecer que, em certos casos, alguns termos sejam nulos, enquanto os sinais
de soma e subtração podem variar bastante (399, 21-23).

[144] Descartes trata não somente deste caso particular, mas considera todas as
possíveis combinações oriundas das mudanças de sinais ou quando determinado
termo é nulo. Vê-se, pois, que Descartes, aqui, trata do problema em toda a sua
generalidade.

[145] Essa exposição organizada dos casos possíveis é extraída de SCOTT (1976, p.
108).

[146] O ponto N’ não é
fornecido por Descartes. Ele está sobre a linha NM, do lado oposto a N,
em circunstância idêntica.

[147] Descartes utiliza, em várias ocasiões, o Livro I das Cônicas de
Apolônio. Nesse caso, Scott está se referindo à Prop. 13, segundo indicações do
próprio Descartes.

[148] Cf. a seção intitulada “Démonstration de tout ce qui vient d’être expliqué”
(404, 6-406, 10). Descartes não demonstra tudo, entretanto; e algumas frases de
efeito, como: “Et les démonstrations de tout ceci sont evidentes”, “Et on peut
facilement examiner tous les autres cas en même sorte” (404, 6; 406, 9-10),
parecem querer suprir a falta delas.

[149] Figura extraída da obra de SCOTT (1976, p. 110).

[150] Figura extraída da Geometria (VI, 398).

[151] Casos com cinco linhas dadas são também
examinados por Descartes (407-411). Um dos resultados da investigação
cartesiana é a classificação das curvas, soluções do problema de Pappus
generalizado para n linhas, em gêneros e o estabelecimento de sua
relação com o grau da equação correspondente. Assim, problemas de três e quatro
linhas dadas originam equações de segundo grau e pertencem ao primeiro gênero;
problemas de cinco a oito linhas dadas originam equações de terceiro e quarto
graus e pertencem ao segundo gênero; problemas de nove a doze linhas dadas
originam equações de quinto e sexto graus e pertencem ao terceiro gênero; e
assim por diante. Cf., por exemplo, o quadro apresentado por VUILLEMIN (1960,
p. 109).

[152] Diz
Descartes: “Ao reste, ces mêmes racines se peuvent trouver par une infinité
d’autres moyens, et j’ai seulement voulu mettre ceux-ci, comme fort simple,
afin de faire voir qu’on peut construire tous les problèmes de la
Géométrie ordinaire” (376, 18-21; itálico acrescentado). Descartes está se
referindo à seção “Como eles (os problemas) são resolvidos”, com total
privilégio à construção, dado que a demonstração é totalmente dispensável, mas
também porque resolver, para Descartes, é antes de tudo construir. Na verdade,
o termo “construção” é relativamente abundante na Geometria,
principalmente no Livro III. Cf., por exemplo, os títulos das seguintes seções:
“Exemple de la construction de ce problème en la conchoïde” (423, 17), “De
quelles lignes courbes on peut se servir en la construction de chaque problème”
(442, 4), “Façon générale pour construire tous les problèmes solides, réduits a
une équation de trois ou quatre dimensions” (464, 17), “Que tous les problèmes
solides se peuvent réduire à ces deux constructions” (471, 11), “Façon générale
pour construire tous les problèmes réduits a une équation qui n’a point plus de
six dimensions” (476, 25).

[153] Cf. a
seção “Démonstration de tout ce qui vient d’être expliqué” (404, 6-406, 10)

[154] O termo
“demonstração” aparece mais raramente na obra. Um caso, além do já citado,
aparece no começo do Livro III. Diz Descartes: “Et même, il est a remarquer
que, par les plus simples, on ne doit pas seulement entendre celles
qui peuvent le plus aisément
être décrites, ni celles qui rendent la
construction ou la démonstration du problème proposé plus facile” (442, 11-15).

[155] Diz ele: “Mais le bon est,
touchant cette question de Pappus, que je n’en ai mis que la construction et la
démonstration entière, sans en mettre toute l’analyse, laquelle ils s’imaginent
que j’ai mise seule: en quoi ils témoignent qu’ils y entendent bien peu.
Mais ce qui les
trompe, c’est que j’en fais la construction, comme les architectes font les
bâtiments, en prescrivant seulement tout ce qu’il faut faire, et laissant le
travail des mains aux charpentiers et aux maçons. Ils ne connaissent pas aussi
ma démonstration, a cause que j’y parle par a b. Ce qui ne la rend
toutefois en rien différente de celles des anciens, sinon que par cette façon
je puis mettre souvent en une ligne ce dont ils remplissent plusieurs pages, et
pour cette cause elle est incomparablement plus claire, plus facile et moins
sujette à erreur que la leur. Pour
l’analyse, j’en ai omise une partie, afin de retenir les esprits malins en leur
devoir” (II, 83, 5-8).

[156] Diz a carta: “il [de Beaune] a fort bien vû en ma Géométrie les
constructions et les demonstrations de tous les lieux plans et solides, dont
les autres disaient que je n’avais mis qu’une simple analyse” (II, 524, 4-7).

[157] Diz Descartes: “Et les deux constructions que j’ai données pour
l’hyperbole, page 330 et 331 [VI, 402-03], se pouvaient expliquer par une
seule. Je n’ai point donné l’analyse de ces lieux, mais seulement leur
construction, comme j’ai fait aussi de la plupart des règles du troisième
Livre. Et au contraire, pour les tangentes je n’ai donné qu’un simple exemple
de l’analyse, pris même d’un biais assez difficile, et j’y ai omis beaucoup de
choses qui pouvaient y être ajoutées pour la facilité de la pratique” (II, 511,
13-22).

[158] Diz a carta: “Je n’ai nullement changé de medium en ma démonstration de la Roulette, car il consiste en l’égalité des triangles
inscrits, ce que j’ai toujours retenu; mais je l’avais trouvé la première fois analyticè;
et depuis, pour ce que j’ai vû qu’il [Roberval] n’en avait sû faire le calcul,
je l’ai expliqué après syntheticè” (II, 400, 16-18).
Cf. também
na mesma carta: “M. F[ermat] a fort bien trouvé la tangente de la roulette, et
elle se rapporte à la mienne; mais s’il en envoye la démonstration analyticè et syntheticè, comme il offre, je serai bien aise de la voir” (394,
1-4).

[159] BEYSSADE (1996, p. 34-35) talvez seja o único autor que reconheça a importância
do problema da roulette para a compreensão dos conceitos de análise e de
síntese, mas, mesmo assim, não vai além de uma rápida observação: “2) Il
[Descartes] a commencé à préciser cette opposition [entre análise e síntese] en
1638, sur le problème mathématique de la roulette, en soutenant qu’il avait
d’abord trouvé sa démonstration analytice, puis qu’il avait exposé la même
démonstration synthetice. 3) Il a achevé d’expliciter l’opposition en
1640-1641, quand on lui a demandé de présenter sa métaphysique à la manière des
géomètres, more geometrico”.

[160] Cf. também a carta de Mersenne, de 28 de
abril, onde o problema é apresentado (II, 116, 4-17, 5). Segundo Mersenne,
Roberval demonstrou, primeiramente, que a área da roulette é tripla em
relação à do círculo, quando o plano (a reta) é igual à circunferência
(perímetro) da roulette e, depois, estabeleceu a proporção, no caso do
plano ser diferente. Descartes discutirá especificamente o primeiro
caso, mas resolverá, por extensão, também o segundo.

[161] Figura extraída da carta de 27 de maio de 1638 (II, 136).

[162] Figuras extraídas da carta de 27 de julho de 1638 (II, 258-9).

[163] Figura extraída da carta de 27 de julho de 1638 (II, 261).

[164] Sendo, pois, AB=πr (2πr é o perímetro da
circunferência) e BC=2r (diâmetro), a área (a) do triângulo será
igual à área do círculo (πr²); isto é, a = (base x altura)/2 =
(πr x 2r)/2 = πr².

[165] Outras curvas mecânicas são a quadratriz de Híppias (ou de Dinostratus) e a
espiral de Arquimedes, enquanto que a conchóide de Nicomedes e a cissóide de
Díocles são geométricas, ao contrário do que pensavam os antigos. Para um
estudo dessas curvas, cf., p. ex, VUILLEMIN (1960, Cap. I e Notas finais IV, V
e VI). Uma curva geométrica, para Descartes, é aquela que é “precisa e exata”
(VI, 389, 27), de sorte que “podemos sempre ter um conhecimento exato de sua
medida” (390, 5-6) (medida aqui entendida não numericamente, mas como grandeza
passível de ser construída). Geometricamente falando, são aceitas as curvas,
por mais complexas que sejam, desde que “descritas por um movimento contínuo,
ou por vários que se entresseguem e dos quais os últimos sejam inteiramente determinados
por aqueles que os precedem” (390, 2-4). Algebricamente, isso significa, ainda
que Descartes não tenha estabelecido com todas as letras essa equiparação ou
equivalência, que as curvas chamadas geométricas “têm necessariamente alguma
relação com todos os pontos de uma linha reta, a qual pode ser expressa por
alguma equação, em todos por uma mesma” (392, 23-25), de forma que a toda curva
geométrica corresponde uma equação algébrica e a toda equação algébrica
corresponde uma curva geométrica. Por sua vez, as curvas mecânicas se originam
de dois ou mais movimentos independentes entre si, cujas equações correspondentes
não são algébricas, mas transcendentes.

[166] Talvez Descartes ofereça a análise independentemente da síntese exatamente para
evitar fornecer a resolução detalhada aos “esprits malins”, mesmo que (ou
talvez porque) se trate de uma questão “tão fácil”: “mais je ne vois pas qu’il y ait de quoi faire tant de bruit, d’avoir
trouvé un chose qui est si facile, qui quiconque sait tant soit peu de Géométrie
ne peut manquer de la trouver, pourvue qu’il la cherche” (135, 14-18).
Nesse
sentido, Descartes tem razão quando diz que não alterou a natureza ou “medium
da demonstração e que é Roberval que não soube completar o cálculo (cf. a
citação abaixo) nem entender a análise: “Et
ce que j’ai mis ici [na síntese] fort au long, afin de pouvoir être entendu par
ceux qui ne se servent de l’analyse, peut être trouvé en trois coups de plume
par le calcul” (263, 4-7)
.

[167] Por isso – e também porque não resolve o problema –, ela é dita, por vezes, ser
uma “simple analyse” (II, 524, 7), enquanto que uma análise completa e não
meramente “simples” engloba também a síntese ou, pelo menos, a construção, já
que a demonstração pode ser dispensada em razão da evidência (intuitiva) das
outras etapas.

[168] A análise, como afirmou também a citação dada acima, tem a característica de se
resumir ao mínimo e de não se prender ao detalhe “demonstrativo”: “Et je l’avais écrite fort succinctement, tant
afin d’épargner le temps, que pour ce que je pensais qu’ils [ceux qui en font
grand bruit] ne manqueraient pas de la reconnaître pour bonne, si tôt qu’ils en
verraient les premiers mots” (257, 9-13). Por sua vez, a
utilização da
expressão “ìsso é evidente”, muito comum na análise (II, 135, 22;136, 4-5; 136,
9) e encontrada em outras ocasiões, mas mais raramente na síntese, poderia ser
vista como uma maneira de o autor se furtar à necessidade de uma explicitação
(“demonstração”) dos passos realizados, mas é muito mais a indicação da
importância atribuída à descoberta dos passos, antes do que à sua justificação.
A análise se adapta também ao espírito cartesiano de “ne pas dire tout”.

[169] Diz ele: “Je n’ai nullement changé de medium en ma démonstration de la Roulette, car il consiste en l’égalité des triangles
inscrits, ce que j’ai toujours retenu; mais je l’avais trouvé la
première fois analyticè; et depuis, pour ce que j’ai vû qu’il [Roberval]
n’en avait sû faire le calcul, je l’ai expliqué après syntheticè
(II, 400, 16-18; negrito acrescentado).

[170] Como em outras ocasiões da
síntese, a construção é tida como suficiente (no caso, o conjunto das várias
construções), sendo a demonstração dispensável para quem sabe um pouco de
geometria, uma vez que a construção é introdução e exibição de elementos e relações,
cuja evidência garante por si só a sua legitimidade ou a resolução do problema.
Assim, depois da construção, o autor afirma: “Ce qui prouve assez que l’espace φχω est égal au
demi cercle αδβ pour ceux qui savent généralement (…).
Mais pour ce que c’est un théorème qui ne serait peut-être pas avoué de tous,
je poursuis en cette sorte (261, 5-13). E segue a demonstração propriamente
dita.

[171] Como assinala BEYSSADE (1976, p. 391-92), as Secondae responsiones afirmam que a síntese é mais prolixa (VII, 159, 17), de modo a tornar tudo
explícito e sem subentendidos. Espinosa dirá o mesmo na Ética, IV, Prop.
18, Escólio. A análise é, por outro lado, mais enigmática e mais concisa, além
de exigir atenção e boa vontade do leitor (o que parece não ser o caso de
Roberval).

[172] Diferentemente do que ocorrerá mais tarde,
Descartes está falando ainda de um único método, composto de duas etapas.
Percebe-se, desde já, entretanto, que, sendo a etapa analítica e a construção
os momentos centrais e complementares entre si, a demonstração vai sendo posta
de lado. Com isso, análise e construção se aproximam e acabam se juntando,
expulsando de vez a demonstração. Começa a nascer a análise por oposição a
síntese, até esta última adquirir o sentido ou o modelo apresentado pela
axiomática euclidiana.

[173] É difícil determinar se a Geometria tem
por objetivo central fornecer um método de solução de problemas, provar uma
determinada tese ou teoria geométrica, fornecer uma classificação dos objetos
geométricos ou estabelecer os limites desta mesma ciência. Neste sentido,
parece que ela não tem uma única direção e não pode ser lida unilateralmente.

[174] Esta
mesma classificação estabelece os limites e as fronteiras da própria geometria,
com a conseqüente exclusão de objetos considerados até então como a ela
pertencentes.

[175] Diz ela: “Tous les problèmes de géométrie
se peuvent facilement réduire à tels termes, qu’il n’est besoin, par après, que
de connaître la longueur de quelques lignes droites, pour les construire” (369,
4-7).

[176] Não há
como não pensar aqui no procedimento da análise e em seu principal objetivo:
exprimir a dificuldade do problema pela equação mais simples possível.

[177] Cf. a citação dada mais adiante.

[178] Diz ele: “Mais, pour comprendre ensemble
toutes celles [linhas curvas] qui sont en la nature, et les distinguer par
ordre en certains genres, je ne sache rien de meilleur que de dire que tous les
points de celles qu’on peut dire Géométriques, c’est à dire qui tombent sous
quelque mesure précise et exacte, ont nécessairement quelque rapport à tour le
points d’une ligne droite, qui peut être exprimé par quelque équation, en tous
par une même” (392, 17-25).

[179] Nesse
sentido, entende-se o objetivo de Descartes ao apresentar seu procedimento para
extrair a normal de uma curva dada (413, 17-ss), pois “pour trouver les
proprietés des lignes curbes, il suffit de savoir le rapport qu’on tous leurs
points à ceux des lignes droites” (412, 25-30, título da seção).

[180] Neste
caso, praticamente todos os Elementos de Euclides tem como objeto
central a linha reta.

[181] A
conquista do objeto simples, por exemplo, a equação, não representa a solução
do problema, mas seu passo fundamental. Em geometria, deve-se construir ainda a
equação.

 

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